进出栈序列问题详解

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1005/B

题目描述

一列火车n节车厢，依次编号为1,2,3,…,n。每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问n节车厢出栈的可能排列方式有多少种。

输入描述:

一个数，n(n≤60000)n (n \leq 60000)n(n≤60000)

输出描述:

一个数s表示n节车厢出栈的可能排列方式

示例1

输入

3

输出

5

示例2

输入

50

输出

1978261657756160653623774456

思路：

方案一：暴力枚举

对于栈问题，简单来想只有进栈和出栈的操作

所以直观的来看，直接暴力枚举每个节点情况

$\{\begin{array}{l}1.\mathrm{把}\mathrm{下}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}\mathrm{进}\mathrm{栈}\\ 2.\mathrm{把}\mathrm{当}\mathrm{前}\mathrm{栈}\mathrm{顶}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{出}\mathrm{栈}（\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{栈}\mathrm{非}\mathrm{空}）\end{array}$

利用递归快速实现，时间复杂度 ：$O(2^N)$

在这个时间复杂度下很容易TLE

方案二：递推优化 $O(N^2)$

因为本题只是要求求出有多少种出栈序列并不关心具体方案，于是我们可以使用递推直接进行统计。设$S_N$ 表示进栈顺序为 $1，2，3，4...,N$ 时可能的出栈序列总数。

现在假设序列中位置 $K$ 的地方有一个数 $a，a$前面有$K-1$个数要出栈，a后面有$N-K$个数要出栈，而出栈的方案总数分别是 $S_{K-1}$ 和 $S_{N-K}$ 于是这个大问题就转化成了小问题，我们就要求更小的 $S_i$，于是有递推公式（很好理解）：

image-20200809143436205

方案三：动态规划 $O(N^2)$

动态规划。这里我们要有状态与决策的思想（这个真的很重要，有时与搜索也异曲同工）。我们设 $F[i,j]$ 是还有 $i $\mathrm{个}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{未}\mathrm{入}\mathrm{栈}，$j$ 个元素在栈中的方案总数，初始状态是$F[0,0]=1$，目标状态是$F[N,0]F$，每一次我们的决策有“让一个数进栈”，“让栈顶的数出栈”，所以方程有：

$$F[i,j]=F[i-1,j+1]+F[i,j-1]$$

方案四：数学 $O(N)$、

该问题等价于求第 $N$ 项 $Ctalan$数，即 $C_{2N}^N/(N+1)$