数据结构进阶：ST表
简介
ST 表是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。
什么是可重复贡献问题？
可重复贡献问题 是指对于运算 \(\operatorname{opt}\) ，满足 \(x\operatorname{opt} x=x\) ，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如，最大值有 \(\max(x,x)=x\) ，gcd 有 \(\operatorname{gcd}(x,x)=x\) ，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。另外， \(\operatorname{opt}\) 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。
什么是RMQ？
RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。解决 RMQ 问题有很多种方法，如 线段树 、单调栈、ST表 和 Four Russian -- 基于 ST 表的算法。
引入
题目大意：给定 \(n\) 个数，有 \(m\) 个询问，对于每个询问，你需要回答区间 \([l,r]\) 中的最大值。
考虑暴力做法。每次都对区间 \([l,r]\) 扫描一遍，求出最大值。
显然，这个算法会超时。
ST 表
ST 表基于 倍增 思想，可以做到 \(\Theta(n\log n)\) 预处理， \(\Theta(1)\) 回答每个询问。但是不支持修改操作。
基于倍增思想，我们考虑如何求出区间最大值。可以发现，如果按照一般的倍增流程，每次跳 \(2^i\) 步的话，询问时的复杂度仍旧是 \(\Theta(\log n)\) ，并没有比线段树更优，反而预处理一步还比线段树慢。
我们发现 \(\max(x,x)=x\) ，也就是说，区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分，只要这些区间的并是所求的区间，最终计算出的答案就是正确的。
如果手动模拟一下，可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间，也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 \(\Theta(1)\) ，在处理有大量询问的题目时十分有效。
具体实现如下：
令 \(f(i,j)\) 表示区间 \([i,i+2^j-1]\) 的最大值。
显然 \(f(i,0)=a_i\) 。
根据定义式，第二维就相当于倍增的时候“跳了 \(2^j-1\) 步”，依据倍增的思路，写出状态转移方程： \(f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))\) 。
以上就是预处理部分。而对于查询，可以简单实现如下：
对于每个询问 \([l,r]\) ，我们把它分成两部分： \(f[l,l+2^s-1]\) 与 \(f[r-2^s+1,r]\) 。
其中 \(s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor\) 。
根据上面对于“可重复贡献问题”的论证，由于最大值是“可重复贡献问题”，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 \([l,r]\) ，可以保证答案的正确性。
小结：
稀疏表(SparseTable)算法是 \(O(nlogn)-O(1)\) 的，对于查询很多大的情况下比较好。
ST算法预处理：用 \(dp[i,j]\) 表示从i开始的，长度为 $2^j $ 的区间的 RMQ ，则有递推式
即用两个相邻的长度为 \(2j-1\) 的块，更新长度为 \(2j\) 的块。因此，预处理时间复杂度为 \(O(nlogn)\)。
这个算法记录了所有长度形如 \(2k\) 的所有询问的结果。
从这里可以看出，稀疏表算法的空间复杂度为 \(O(nlogn)\)。
模板如下：
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int a[50001];
int f[50001][16];
int n;
void rmq_init() //建立： dp(i,j) = min{dp(i,j-1),dp(i+2^(j-1),j-1) O(nlogn)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i][0] = a[i];
int k = floor(log((double)n) / log(2.0)); // C/C++取整函数ceil()大,floor()小
for (int j = 1; j <= k; j++)
for (int i = n; i >= 1; i--) {
if (i + (1 << (j - 1)) <=
n) // f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)
f[i][j] = min(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
}
}
int rmq(int i, int j) //查询：返回区间[i,j]的最小值 O(1)
{
int k = floor(log((double)(j - i + 1)) / log(2.0));
return min(f[i][k], f[j - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
rmq_init();
printf("%d\n", rmq(2, 5));
}
例题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int logn = 21;
const int maxn = 2000001;
int Logn[maxn], f[maxn][logn];
int n, m;
inline int read(){
int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - 48; ch = getchar(); }
return x * f;
}
void pre() {
Logn[1] = 0, Logn[2] = 1;
for (int i = 3; i < maxn; ++i)
Logn[i] = Logn[i / 2] + 1;
}
int main() {
//freopen("in.txt", "r", stdin);
//ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)f[i][0] = read();
pre();
//f(i,j) = max(f(i,j - 1),f(i + 1 << (j - 1),j - 1))
for (int j = 1; j <= logn; j++)
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
int x, y;
while (m--) {
x = read(), y = read();
int s = Logn[y - x + 1];
printf("%d\n", max(f[x][s], f[y - (1 << s) + 1][s]));
}
}
- poj 3264 Balanced Lineup
题意：求区间的最大值和最小值。
这道题有很多种方法（比如线段树），用ST表代码简洁，详细代码如下：
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define N 100005
using namespace std;
int n, q, a[N];
int mx[N][18], mn[N][18];
void Rmq_Init() {
int m = floor(log((double)n) / log(2.0));
for (int i = 1; i <= n; i++)
mx[i][0] = mn[i][0] = a[i];
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = n; j; j--) {
mx[j][i] = mx[j][i - 1];
mn[j][i] = mn[j][i - 1];
if (j + (1 << (i - 1)) <= n) {
mx[j][i] = max(mx[j][i], mx[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
mn[j][i] = min(mn[j][i], mn[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
}
int Rmq_Query(int l, int r) {
int m = floor(log((double)(r - l + 1)) / log(2.0));
int Max = max(mx[l][m], mx[r - (1 << m) + 1][m]);
int Min = min(mn[l][m], mn[r - (1 << m) + 1][m]);
return Max - Min;
}
int main() {
while (scanf("%d%d", &n, &q) != EOF) {
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
Rmq_Init();
while (q--) {
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", Rmq_Query(l, r));
}
}
return 0;
}
注意点
-
输入输出数据一般很多，建议开启输入输出优化。
-
每次用 std::log 重新计算 log 函数值并不值得，建议进行如下的预处理：
ST 表维护其他信息
除 RMQ 以外，还有其它的“可重复贡献问题”。例如“区间按位和”、“区间按位或”、“区间 GCD”，ST 表都能高效地解决。
需要注意的是，对于“区间 GCD”，ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优（令值域为 \(w\) ，ST 表的查询复杂度为 \(\Theta(\log w)\) ，而线段树为 \(\Theta(\log n+\log w)\) ，且值域一般是大于 \(n\) 的），但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣，而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多。
如果分析一下，“可重复贡献问题”一般都带有某种类似 RMQ 的成分。例如“区间按位与”就是每一位取最小值，而“区间 GCD”则是每一个质因数的指数取最小值。
总结
ST 表能较好的维护“可重复贡献”的区间信息（同时也应满足结合律），时间复杂度较低，代码量相对其他算法很小。但是，ST 表能维护的信息非常有限，不能较好地扩展，并且不支持修改操作。
练习
以下摘自网络，仅作为学习算法使用，侵权删。
附录：ST 表求区间 GCD 的时间复杂度分析
在算法运行的时候，可能要经过 \(\Theta(\log n)\) 次迭代。每一次迭代都可能会使用 GCD 函数进行递归，令值域为 \(w\) ，GCD 函数的时间复杂度最高是 \(\Omega(\log w)\) 的，所以总时间复杂度看似有 \(O(n\log n\log w)\) 。
但是，在 GCD 的过程中，每一次递归（除最后一次递归之外）都会使数列中的某个数至少减半，而数列中的数最多减半的次数为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\) ，所以，GCD 的递归部分最多只会运行 \(O(n\log w)\) 次。再加上循环部分（以及最后一层递归）的 \(\Theta(n\log n)\) ，最终时间复杂度则是 \(O(n(\log w+\log x))\) ，由于可以构造数据使得时间复杂度为 \(\Omega(n(\log w+\log x))\) ，所以最终的时间复杂度即为 \(\Theta(n(\log w+\log x))\) 。
而查询部分的时间复杂度很好分析，考虑最劣情况，即每次询问都询问最劣的一对数，时间复杂度为 \(\Theta(\log w)\) 。因此，ST 表维护“区间 GCD”的时间复杂度为预处理 \(\Theta(n(\log n+\log w))\) ，单次查询 \(\Theta(\log w)\) 。
线段树的相应操作是预处理 \(\Theta(n\log x)\) ，查询 \(\Theta(n(\log n+\log x))\) 。
这并不是一个严谨的数学论证，更为严谨的附在下方：
更严谨的证明
理解本段，可能需要具备 时间复杂度 的关于“势能分析法”的知识。
先分析预处理部分的时间复杂度：
设“待考虑数列”为在预处理 ST 表的时候当前层循环的数列。例如，第零层的数列就是原数列，第一层的数列就是第零层的数列经过一次迭代之后的数列，即
st[1..n][1]，我们将其记为 \(A\) 。而势能函数就定义为“待考虑数列”中所有数的累乘的以二为底的对数。即： \(\Phi(A)=\log_2\left(\prod\limits_{i=1}^n A_i\right)\) 。
在一次迭代中，所花费的时间相当于迭代循环所花费的时间与 GCD 所花费的时间之和。其中，GCD 花费的时间有长有短。最短可能只有两次甚至一次递归，而最长可能有 \(O(\log w)\) 次递归。但是，GCD 过程中，除最开头一层与最末一层以外，每次递归都会使“待考虑数列”中的某个结果至少减半。即， \(\Phi(A)\) 会减少至少 \(1\) ，该层递归所用的时间可以被势能函数均摊。
同时，我们可以看到， \(\Phi(A)\) 的初值最大为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\) ，而 \(\Phi(A)\) 不增。所以，ST 表预处理部分的时间复杂度为 \(O(n(\log w+\log n))\) 。
