图的存储
在 OI 中，想要对图进行操作，就需要先学习图的存储方式。
约定
在本文中，用 \(n\) 代指图的点数，用 \(m\) 代指图的边数，用 \(d^+(u)\) 代指点 \(u\) 的出度，即以 \(u\) 为出发点的边数。
直接存边
方法
使用一个数组来存边，数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点（带边权的图还包含边权）。（或者使用多个数组分别存起点，终点和边权。）
"参考代码"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
struct Edge {
int u, v, w;
};
int n, m;
vector<Edge> e;
vector<bool> vis;
bool find_edge(int u, int v) {
for (int i = 1; i <= m; ++i)
if (e[i].u == u && e[i].v == v) return true;
return false;
}
void dfs(int u) {
if (vis[u]) return;
vis[u] = true;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
if (e[i].u == u) dfs(e[i].v);
}
int main() {
cin >> n >> m;
vis.resize(n + 1, false);
e.resize(m + 1);
for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].u >> e[i].v;
return 0;
}
复杂度
查询是否存在某条边： \(O(m)\) 。
遍历一个点的所有出边： \(O(m)\) 。
遍历整张图： \(O(nm)\) 。
空间复杂度： \(O(m)\) 。
应用
由于直接存边的遍历效率低下，一般不用于遍历图。
在 Kruskal 算法 中，由于需要将边按边权排序，需要直接存边。
在有的题目中，需要多次建图（如建一遍原图，建一遍反图），此时既可以使用多个其它数据结构来同时存储多张图，也可以将边直接存下来，需要重新建图时利用直接存下的边来建图。
邻接矩阵
方法
使用一个二维数组 adj 来存边，其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 \(u\) 到 \(v\) 的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 adj[u][v] 中存储 \(u\) 到 \(v\) 的边的边权。
"参考代码"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<bool> > adj;
bool find_edge(int u, int v) { return adj[u][v]; }
void dfs(int u) {
if (vis[u]) return;
vis[u] = true;
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (adj[u][v]) dfs(v);
}
}
int main() {
cin >> n >> m;
vis.resize(n + 1, false);
adj.resize(n + 1, vector<bool>(n + 1, false));
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u, v;
cin >> u >> v;
adj[u][v] = true;
}
return 0;
}
复杂度
查询是否存在某条边： \(O(1)\) 。
遍历一个点的所有出边： \(O(n)\) 。
遍历整张图： \(O(n^2)\) 。
空间复杂度： \(O(n^2)\) 。
应用
邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。
其最显著的优点是可以 \(O(1)\) 查询一条边是否存在。
由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。
邻接表
方法
使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector<int> adj[n + 1] 来存边，其中 adj[u] 存储的是点 \(u\) 的所有出边的相关信息（终点、边权等）。
“参考代码"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<int> > adj;
bool find_edge(int u, int v) {
for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
if (adj[u][i] == v) return true;
}
return false;
}
void dfs(int u) {
if (vis[u]) return;
vis[u] = true;
for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) dfs(adj[u][i]);
}
int main() {
cin >> n >> m;
vis.resize(n + 1, false);
adj.resize(n + 1);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u, v;
cin >> u >> v;
adj[u].push_back(v);
}
return 0;
}
复杂度
查询是否存在 \(u\) 到 \(v\) 的边： \(O(d^+(u))\) （如果事先进行了排序就可以使用 二分查找 做到 \(O(\log(d^+(u)))\) ）。
遍历点 \(u\) 的所有出边： \(O(d^+(u))\) 。
遍历整张图： \(O(n+m)\) 。
空间复杂度： \(O(m)\) 。
应用
存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。
尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。
链式前向星
链式前向星介绍：here
方法
本质上是用链表实现的邻接表，核心代码如下：
// head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1
void add(int u, int v) {
nxt[++cnt] = head[u]; // 当前边的后继
head[u] = cnt; // 起点 u 的第一条边
to[cnt] = v; // 当前边的终点
}
// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) { // ~i 表示 i != -1
int v = to[i];
}
"参考代码"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> head, nxt, to;
void add(int u, int v) {
nxt.push_back(head[u]);
head[u] = to.size();
to.push_back(v);
}
bool find_edge(int u, int v) {
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) { // ~i 表示 i != -1
if (to[i] == v) return true;
}
return false;
}
void dfs(int u) {
if (vis[u]) return;
vis[u] = true;
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) dfs(to[i]);
}
int main() {
cin >> n >> m;
vis.resize(n + 1, false);
head.resize(n + 1, -1);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int u, v;
cin >> u >> v;
add(u, v);
}
return 0;
}
复杂度
查询是否存在 \(u\) 到 \(v\) 的边： \(O(d^+(u))\) 。
遍历点 \(u\) 的所有出边： \(O(d^+(u))\) 。
遍历整张图： \(O(n+m)\) 。
空间复杂度： \(O(m)\) 。
应用
存各种图都很适合，但不能快速查询一条边是否存在，也不能方便地对一个点的出边进行排序。
优点是边是带编号的，有时会非常有用，而且如果 cnt 的初始值为奇数，存双向边时 i ^ 1 即是 i 的反边（常用于 网络流 ）。
