幂次方的四种快速取法（不使用pow函数）
Pow(x, n)
- 方法一：暴力法
- 方法二：递归快速幂算法
- 方法三：迭代快速幂算法
- 方法四：位运算法
方法一：暴力法
思路
只需模拟将 x 相乘 n 次的过程。
如果 \(n < 0\)，我们可以直接用 \(\dfrac{1}{x}\), \(-n\) 来替换 \(x , n\) 以保证 \(n \ge 0\)。该限制可以简化我们的进一步讨论。
但我们需要注意极端情况，尤其是负整数和正整数的不同范围限制。
算法
我们可以用一个简单的循环来计算结果。
class Solution {
public:
double myPow(double x, int n) {
long long N = n;
if (N < 0) {
x = 1 / x;
N = -N;
}
double ans = 1;
for (long long i = 0; i < N; i++)
ans = ans * x;
return ans;
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：\(O(n)\)。我们将
x相乘n次。 - 空间复杂度：\(O(1)\)。我们需要一个变量来存储
x的最终结果。
方法二：递归快速幂算法
class Solution {
public:
double fastPow(double x, long long n) {
if (n == 0) {
return 1.0;
}
double half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
} else {
return half * half * x;
}
}
double myPow(double x, int n) {
long long N = n;
if (N < 0) {
x = 1 / x;
N = -N;
}
return fastPow(x, N);
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(log(n))O(log(n))。每次我们应用公式$ (x ^ n) ^ 2 = x ^ {2 * n}\(，\)n$ 就减少一半。 因此，我们最多需要 \(O(log(n))\)次计算来得到结果。
- 空间复杂度：\(O(log(n))\)。每次计算，我们都需要存储 \(x ^ {n / 2}\) 的结果。 我们需要计算 \(O(log(n))\)次，因此空间复杂度为 \(O(log(n))\)。
方法三：迭代快速幂算法
递归或迭代的快速幂实际上是实现同一目标的不同方式。
class Solution {
public:
double myPow(double x, int n) {
long long N = n;
if (N < 0) {
x = 1 / x;
N = -N;
}
double ans = 1;
double current_product = x;
for (long long i = N; i ; i /= 2) {
if ((i % 2) == 1) {
ans = ans * current_product;
}
current_product = current_product * current_product;
}
return ans;
}
};
复杂度分析
- 时间复杂度：\(O(log(n))\)。对于
n的每个二进制位，我们最多只能乘一次。所以总的时间复杂度为 \(O(log(n))\)。 - 空间复杂度：\(O(1)\)。我们只需要两个变量来存储
x的当前乘积和最终结果。
位运算实现pow(x,n)
根据暴力法的思路来看特别简单，但通过位运算呢？
我举个例子吧，例如 n = 13，则 n 的二进制表示为 1101, 那么 m 的 13 次方可以拆解为:
\(m^{1101} = m^{0001} * m^{0100} * m^{1000}\)。
我们可以通过 & 1和 >>1 来逐位读取 1101，为1时将该位代表的乘数累乘到最终结果。直接看代码吧，反而容易理解：
int pow(int n){
int sum = 1;
int tmp = m;
while(n != 0){
if(n & 1 == 1){
sum *= tmp;
}
tmp *= tmp;
n = n >> 1;
}
return sum;
}
时间复杂度近为 \(O(logn)\)，而且看起来很牛逼
