单源最短路径（2）：Bellman Ford 算法
Dijkstra 算法是处理单源最短路径的有效算法，但它对存在负权回路的图就会失效。这时候，就需要使用其他的算法来应对这个问题，Bellman-Ford（中文名：贝尔曼-福特）算法就是其中一个。
Bellman-Ford 算法不仅可以求出最短路径，也可以检测负权回路的问题。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。
算法过程分析
对于一个不存在负权回路的图，Bellman-Ford 算法求解最短路径的方法如下：
设其顶点数为 n，边数为 m。设其源点为 source，数组 dist[i] 记录从源点 source 到顶点i的最短路径，除了 dist[source] 初始化为 0 外，其它 dist[] 皆初始化为 INT_MAX。以下操作循环执行 n-1 次：
- 对于每一条边 arc(u, v)，如果 dist[u] + w(u, v) < dist[v]，则使 dist[v] = dist[u] + w(u, v)，其中 w(u, v) 为边 arc(u, v) 的权值。
n-1 次循环，Bellman-Ford 算法就是利用已经找到的最短路径去更新其它点的 dist[]。
接下来再看看 Bellman-Ford 算法是如何检测负权回路的？
检测的方法很简单，只需在求解最短路径的 n-1 次循环基础上，再进行第 n 次循环：
- 对于所有边，只要存在一条边 arc(u, v) 使得 dist[u] + w(u, v) < dist[v]，则该图存在负权回路，其中 w(u, v) 为边 arc(u, v) 的权值。
| 循环次数 | dist[0] | dist[1] | dist[2] |
|---|---|---|---|
| 第1次 | 0 | -5 | -3 |
| 第2次 | -2 | -5 | -3 |
| 第3次 | -2 | -7 | -5 |
完整代码
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
struct Edge
{
int u;
int v;
int w;
};
Edge edge[10000]; // 记录所有边
int dist[100]; // 源点到顶点 i 的最短距离
int path[100]; // 记录最短路的路径
int vertex_num; // 顶点数
int edge_num; // 边数
int source; // 源点
bool BellmanFord()
{
// 初始化
for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
dist[i] = (i == source) ? 0 : INT_MAX;
// n-1 次循环求最短路径
for (int i = 1; i <= vertex_num - 1; i++)
{
for (int j = 0; j < edge_num; j++)
{
if (dist[edge[j].v] > dist[edge[j].u] + edge[j].w)
{
dist[edge[j].v] = dist[edge[j].u] + edge[j].w;
path[edge[j].v] = edge[j].u;
}
}
}
bool flag = true; // 标记是否有负权回路
// 第 n 次循环判断负权回路
for (int i = 0; i < edge_num; i++)
{
if (dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].w)
{
flag = false;
break;
}
}
return flag;
}
void Print()
{
for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
{
if (i != source)
{
cout << source << " 到 " << i << " 的最短距离是：" << dist[i] << "，路径是：" << i;
int t = path[i];
while (t != source)
{
cout << "--" << t;
t = path[t];
}
cout << "--" << source << endl;
}
}
}
int main()
{
cout << "请输入图的顶点数，边数，源点：";
cin >> vertex_num >> edge_num >> source;
cout << "请输入 " << edge_num << " 条边的信息：\n";
for (int i = 0; i < edge_num; i++)
cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;
if (BellmanFord())
Print();
else
cout << "存在负权回路!\n";
return 0;
}
测试如下：
/* Test 1 */
请输入图的顶点数，边数，源点：5 7 0
请输入 7 条边的信息：
0 1 100
0 2 30
0 4 10
2 1 60
2 3 60
3 1 10
4 3 50
0 到 1 的最短距离是：70，路径是：1--3--4--0
0 到 2 的最短距离是：30，路径是：2--0
0 到 3 的最短距离是：60，路径是：3--4--0
0 到 4 的最短距离是：10，路径是：4--0
/* Test 2 */
请输入图的顶点数，边数，源点：4 6 0
请输入 6 条边的信息：
0 1 20
0 2 5
3 0 -200
1 3 4
3 1 4
2 3 2
存在负权回路!
算法优化
以下除非特殊说明，否则都默认是不存在负权回路的。
先来看看 Bellman-Ford 算法为何需要循环 n-1 次来求解最短路径？
读者可以从 Dijkstra 算法来考虑，想一下，Dijkstra 从源点开始，更新 dist[]，找到最小值，再更新 dist[] ，，，每次循环都可以确定至少一个点的最短路。Bellman-Ford 算法同样也是这样，它的每次循环也可以确定至少一个点的最短路，故需要 n-1 次循环。
Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 \(O(nm)\)，其中 n 为顶点数，m 为边数。每一次循环都需要对 m 条边进行操作，\(O(nm)\) 的时间，其实大多数都浪费了。
大家可以考虑一个随机图（点和边随机生成），除了已确定最短路的顶点与尚未确定最短路的顶点之间的边，其它的边所做的都是无用的，大致描述为下图（分割线以左为已确定最短路的顶点），
其中红色部分为所做无用的边，蓝色部分为实际有用的边。
既然只需用到中间蓝色部分的边，那算法优化的方向就找到了，请接着看本系列第三篇文章：spfa 算法。
