数学/扩展欧几里得/NOI2002 荒岛野人 savage

题目：

　　岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平。

分析：

　　首先分析两个野人i,j的情况。如果i,j在x年相遇并且在第x年时俩人都活着，则可以得到一个同余方程：ci+x*pi≡cj+x*pj (mod M).现在我们要求不能使野人们相遇，则需要让这个同余方程无解，或解出的最小的x比两个人中任何一人的寿命长。

上述是两个野人之间的分析，但对于n个野人呢，由于n<=15，我们完全可以双重循环两两判断比较。M的初始值为max{c[i]}（易证，若山洞个数比初始位置还少,是不可行的），每次两两判断时，若有一对能相遇，则这个M不可行，需要M++,直到找到一个M，使每两个野人都不能相遇，则这个M为最终答案。

 

具体实现：

同余方程：ci+x*pi≡cj+x*pj (mod M)

移项可得：(pi-pj)*x≡cj-ci (mod M)

即求满足(pi-pj)*x-M*y=cj-ci 的最小的正整数x

其中在每一步,pi-pj已知，M已知，cj-ci已知，方程即转化为ax+by=c，很眼熟吧？用扩展欧几里得就能求出一组可行的(x,y)的解，但是此时的x并不是最小的正整数解，还需借助通解式x=x0+kb来求出最小正整数解，具体用扩展欧几里得求解二元一次不定方程的解法在我另一随笔上有详细介绍，请移步http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/11/25/2787419.html

/*
    PROBLEM:NOI2002 savage
    AUTHER:Rinyo
    MEMO:扩展欧几里得
*/
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
int n,m;
int c[20],p[20],l[20];
inline int cmin(const int &x,const int &y) {return x<y?x:y;}
inline int cmax(const int &x,const int &y) {return x>y?x:y;}
int exgcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    return d;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);m=cmax(m,c[i]);}
    for (int k=m;;k++)
    {
        bool flag=true;
        for (int i=1;i<=n-1;i++)
        {
            for (int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                int x,y;
                int pp=p[i]-p[j],cc=c[j]-c[i];
                int d=exgcd(pp,k,x,y);
                if (cc%d) continue;
                int now=x*cc/d;
                now=now % (k/d);
                if (now<0) now+=abs(k/d);
                if (now<=cmin(l[i],l[j])) {flag=false;break;}
            }
            if (!flag) break;
        }
        if (flag) {printf("%d",k);break;}
    }
    return 0;
}