前缀和，差分

前缀和_理解

前缀和就是数学里的数列的前n项和Sn,所以前缀和需要从最开始的元素开始相加。

前缀和_思路

1.创建一个s[n]数组，则s[i]表示前i项数组的和；
2.建议在输入a[n]数组时，就同时处理S[n]数组；
3.S[i] = S[i - 1] + a[i];

前缀和_使用场景_1

可以用于快速求[i , j]之间所有元素的和。
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/797/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000005];
int s[1000005];
int n , m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    while(m--)
    {
        int l , r;
        cin >> l >> r;
        int ans = s[r] - s[l -1];
        cout << ans << endl;
    }
    
    return 0;
}

前缀和_应用场景_2

可以求一个经典的数学模型，如下图，求红框框住的和

那我们用大蓝框减去两个紫框里面的数，但是黄色部分被减去了两次，所以要加上一次，即
ans = S[4][4] - S[4][2] - S[1][4] + S[1][2]

例题链接：https://www.acwing.com/problem/content/798/

#include<iostream>
using namespace std;
int n, m, q;
const int N = 1010;
int a[N][N], S[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            S[i][j]=S[i-1][j]+S[i][j-1]-S[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n",S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1-1][y1-1])
    }


    return 0;
}

差分

就是前缀和的逆运算，一个数列a[n],则差分为b[2] = a[2] - a[1],b[3] = a[3] - a[2]......
即数列里第i个数字于第i - 1个数字之差。

差分_应用场景_1

题意
将一个数组中的某个[l,r]区间里的所有数全部加上一个c，经过t次操作后，求最终数组
思路
将b[i] = a[i] - a[i - 1]变为a[i] = a[i - 1] + b[i];
所以原数组变成了差分数组的前缀和；

再来观察，一个数组，1 4 1 5 9 2 6，差分数组分别为
1，3，-3，4，4，-7，4
若我想让这个数组从第二个数字4到第五个数字9，全部加上9；
则只需要把差分数组的3加9，就可以得到
（+1） 1 （+12） 13 （-3） 10 （+4） 14 （+4） 18 （-7） 11 （+4） 15
但是，很显然，不需要把最后两个数字也变形，所以我需要把9和2之间的差分减去9
(+1） 1 （+12） 13 （-3） 10 （+4） 14 （+4） 18 （-16） 2 （+4） 6

接着观察，假设从i = 1开始读入；
a[i]数组改变：a[2]~a[5];
b[i]数组改变：b[2]（+9） , b[6] (-9)
所以把a[i]在[l , r]之间的所有数字加上一个数字c,
我们只需要在其差分数组b[l] += c和b[r+1] -= c即可

例题链接https://www.acwing.com/problem/content/799/

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];//构建差分，第一个差分是0和a[1]之间的差分
    }
    int l, r, c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;//将序列中[l, r]之间的每个数都加上c，只要第一个差分变了,原数组就全变了
        b[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = b[i] + a[i - 1];//原数组变成了差分数组的前缀和
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

差分_应用场景_2

例题：https://www.acwing.com/problem/content/description/800/

题意
差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

思路
同前缀和矩阵思路
先分别构造原数组a[m][n]及其差分数组b[m][n];
这里差分数组的构造有点讲究，所以先假设我们差分数组已经构造完毕；
则

    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;

这四个式子非常巧的可以直接运用到差分数组的构建之中，
我一时半会讲不明白，这里我放一个大佬的思路https://www.acwing.com/solution/content/27325/
（实在不行可以直接把构造的那个式子背下来）

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }

题解如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
//差分数组构造与差分数组改变
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    //构建差分数组（实在理解不来就背一下）
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
        }
    }
    //插入需要修改的矩阵坐标区域
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        //修改矩阵差分
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    //用前缀和思想，通过差分数组还原原数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //这里直接用差分数组存，而不是用原数组
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
        }
    }
    //打印新数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cout << b[i][j];
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

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本文作者：Zilliax
本文链接：https://www.cnblogs.com/RimekeyBergling/p/16396274.html
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