2.wqs带权二分2024-07-09

前言

这是一种并不常见的二分方式，通常情况下解决的题目都具有以下明显的特点：

求恰好选 $x$ 次时的最优解
我们只会没有次数限制的/加入次数限制后的dp复杂度爆炸 $⟺$ 只能做没有次数限制的最优解，但是可以知道要选几次（可能比较复杂，之后会解释）
随着选择次数的增加，最优解所对应的值增量单调递减/单调递增，形式化的，设 $f (i)$ 表示当选 $i$ 次的时候，最优解的值。那么 $f (i)$ 的图像是一个上凸函数/下凸函数

我们如果能获得凸包，那就好了，但是实际是不能的。

那么有没有别的方法求出凸包上点的值呢？

我们考虑从切线入手，因为凸包上切线的斜率具有单调性

正文

wqs二分通过每次二分一个斜率，找到切点，并根据切线单调性调整斜率，最终找到 $x$ 对应的斜率

主要解决一下两个问题：

如何找到切点呢，知道 $x$ 对应的斜率又有什么用呢？

先解决第二个问题，因为解决了这个我们才有解决第一个的必要。

改变一下直线方程：

b = y - k \times x

b (x) = f (x) - k \times x

我们的目的是求出 $f (x)$ ，而知道斜率 $k$ 后，如果我们可以知道 $b (x)$ 就可以反解出了。

OK，那么我们可以将求 $b (x)$ 的任务交给求切点了。

求切点

设给定的的斜率为 $k$ ，切点横坐标为 $x$ ，注意这是切线，因此有任意一点 $x^{'}$ 以 $k$ 为斜率，都有 $b_{x^{'}}$ $\leq$ $b_{x}$ （如下图）

截距特点

根据： $b (x) = f (x) - k \times x$

所有 $x$ 的 $b (x)$ 中， $b_{m a x}$ 所对应的 $x^{'}$ 即为切点

此时请回到上面，再次浏览一下特点：“只能做没有次数限制的最优解，但是可以知道要选几次”

我们会的东西可以完美解决这个问题，具体来说：

我们可以给当前每一个选择都减去一个权值 $k$ ，类似01分数规划，这样就可以使限制消失，进而通过我么可以做到的算法求出 $b_{m a x}$ 和其所对应的 $x^{'}$

通过求出的 $x^{'}$ 和实际的 $x$ 的大小关系，根据斜率单调性，我们可以得出需要调大斜率还是调小斜率。

因此一定可以通过二分找到这个 $k$ .

这里给出伪代码：


int l=?,r=?,ans;
while(l<=r)
{
	int mid=l+r>>1;
	if(check(mid)>=mid) l=mid+1/r=mid-1,ans=?;
	else r=mid-1/l=mid+1;
}

至于是调大二分的值还是调小二分的值，就要看具体是下凸函数（对应求解的是最小值）还是上凸函数（对应求解的是最大值）来看了。

此时可以看模板：P2619 [国家集训队] Tree I

每次二分斜率 $k$ 后，给每条白边减去一个 $m i d$ ，然后求一下最小生成树，看一下需要多少条半边，根据这个调整斜率。

但是你认为这样就完了吗，其实还没有，还有问题：

有多种属性应该先挑选哪个呢？（白边黑边一样长，先挑哪个？）
如果你输出了二分check的cnt（白边的个数），他也不是need呃呃呃。

解决第一个问题

我们需要定义严格偏序规则，也就是说对于两个点，一定要分出先后。

可以感性的思考一下：我们的算法中在不改变求出的是最优解的情况下，是更倾向于选择一次限制，还是选择一个非限制。以上一题为例：就是不改变最小生成树大小的前提下，是优先选白边，还是优先选黑边。

如果更倾向于选限制：那么我们只会存凸包同一条直线上最靠右的点
如果更倾向于不选限制：那么我们只会存凸包同一条直线上最靠左的点

以此图为例可能更好理解。
斜率相同的时候，切点不唯一

如果是第一种，我们在check的时候就要在 $c n t \geq n e e d$ 的时候统计答案。

如果是第二种，我们在check的时候就要在 $c n t \leq n e e d$ 的时候统计答案

上面两个结论在代码实现上非常重要。

解决第二个问题：

有了第一个的铺垫，第二个就好说了，为什么求出的切点一直不是need呢？

继续看此图：斜率相同的时候，切点不唯一

$C, F, G, D$ 四个点都是当前斜率下的切点，转化为更直白一点的说法就是，当前 $b_{m a x}$ 所对应的 $x^{'}$ 不唯一。

而在这些点中，我们永远只会存一个，因为我们定义了严格偏序规则，我们一定会挑一个端点存，这就是我们无论如何改变斜率，都凑不出来 $n e e d$ 的原因。

因此在计算答案的时候，我们应该使 $a n s = s i z e + m i d \times k$
，而不能直接用二分出来的 $c n t$ 来算最终的答案。

原因是我们的 $x$ 可能是 $F, D$ 这一类不在端点上的，和二分出来的cnt的关系仅仅是他们的斜率相同，而不是纵坐标也就是对应的 $f (i)$ 相同。

上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct Edge
{
    int a,b,w;
    int c;
    bool operator<(const Edge &t)const
    {
        if(w==t.w) return c<t.c;
        return w<t.w;
    }
}e[N];
int p[N];
int n,m,need;
int sum;

void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    sum=0;
}

int find(int x)
{
    if(x!=p[x]) return p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal(int mid)
{
    for(int i=1;i<=m;i++) if(!e[i].c) e[i].w-=mid;
    
    sort(e+1,e+1+m);
    
    init();
    
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int pa=find(e[i].a),pb=find(e[i].b);
        if(pa==pb) continue;
        p[pa]=pb;
        sum+=e[i].w;
        cnt+=(!e[i].c);
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++) if(!e[i].c) e[i].w+=mid;
    
    return cnt;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    
    cin>>n>>m>>need;
    
    for(int i=1,a,b,w,c;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b>>w>>c;
        a++,b++;
        e[i]={a,b,w,c};
    }
    
    int l=-111,r=111,ans;
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(kruskal(mid)>=need) r=mid-1,ans=sum+need*mid;
        else l=mid+1;
    }
    
    cout<<ans<<"\n";
}