最小树形图

洛谷模板 - P4716 【模板】最小树形图

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树形图

• 无环
• 每个点的入度为 1 （除了 根 ）

朱刘算法

基于 贪心 算法

1. 对于每个点（除了 根 ），找出所有入边中权值最小的边

2. 选出的边中是否存在环 （无环，则结束算法，有环，则继续）

3. 将所有的环缩点，构建一个新的图

对于边 （u - v）：

• 环内部，去掉
• 终点在环内，$w=w_{\mathrm{原}}-w_{\mathrm{换}\mathrm{上}\mathrm{边}}$
• 其他边照搬

G -> G'

持续操作，直到退出

证明？

1. 如果当前没有环，显然成立

2. 如果有环

   （1）至少去掉一条边

   （2）必然存在一个最优解，使环上的边只去掉了一条（如果有超过两条，可以通过替换变成一条）