[学习笔记]中国剩余定理

中国剩余定理

以前公式用的是图片导致排版丑陋，今天复习顺便重写了

描述

有同余方程组：

\[\left\{ \begin{matrix} x \equiv a_1 (mod \ m_1) \\ x \equiv a_2 (mod \ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_k (mod \ m_k) \end{matrix} \right. \\ 其中m_i两两互质 \]

令\(M = \prod_{i = 1}^{k} m_i\)，则方程组的一个解为\(x = \sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i})^{-1}\)，其中\((\frac{M}{m_i})^{-1}\)表示\(\frac{M}{m_i}\)模\(m_i\)意义下的逆元

如果求最小非负整数解，再模\(M\)即可

证明

对于每一个\(x \equiv a_i (mod \ m_i)\)，记解为\(x_i\)，则有\(x_i + m_i \cdot y = a_i\)，两边除以\(a_i\)，得：

\[\frac{x_i}{a_i} + \frac{m_i \cdot y}{a_i} = 1 \tag{1} \]

由\(m_i\)两两互质得\(\frac{M}{m_i}\)与\(m_i\)互质，所以存在\(p, q \in Z^+\)，使得：

\[p \cdot \frac{M}{m_i} + q \cdot m_i = 1 \tag{2} \]

即：

\[p \cdot \frac{M}{m_i} \equiv 1 (mod \ m_i) \\ p \equiv (\frac{M}{m_i})^{-1} (mod \ m_i) \tag{3} \]

由\((1)(2)(3)\)易得\(x_i = a_i \cdot p \cdot \frac{M}{m_i} = a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i})^{-1}\)是方程的一个解

对于\(j \neq i\)，有\(m_j | \frac{M}{m_i}\)，所以\(x_i \equiv 0 (mod \ m_j)\)，所以\(\sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i}) ^ {-1} \equiv a_j (mod \ m_j)\)

故方程组的一个解是\(x = \sum_{i = 1}^{k} a_i \cdot \frac{M}{m_i} \cdot (\frac{M}{m_i}) ^ {-1}\)，显然\(x \% M\)是最小非负整数解

一个应用

有的时候题目要求答案模一个大合数，可以把合数拆成\(\prod p_{i}^{k_i}\)的形式，化成由\(ans \equiv a_i (mod \ p_{i}^{k_i})\)组成的方程组然后求解

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL a[1005], m[1005], M = 1, ans;
int n;

void ExGCD(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
{
	if(!b) d = a, x = 1, y = 0;
	else
	{
		ExGCD(b, a % b, d, y, x);
		y -= a / b * x;
	}
}
LL Inverse(LL a, LL p)
{
	LL x, y, d;
	ExGCD(a, p, d, x, y);
	x = (x % p + p) % p;
	return x;
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)
		scanf("%lld", a + i);
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%lld", m + i);
		M *= m[i];
	}
	for(int i = 0; i < n; i++)
		ans = (ans + M / m[i] * Inverse(M / m[i], m[i]) % M * a[i] % M) % M;
	ans = (ans + M) % M;
	printf("%lld\n", ans);

	return 0;
}//Rhein_E