[THUWC2019]迷路（最小环）
题面
题目描述
dolls意外得到了一张藏宝图，于是他踏上了寻找宝藏的道路。在走了许多许多步，回到同一个位置以后，dolls确定自己迷路了。dolls十分生气，他觉得自己这么英明圣武的人就算迷路，也要迷路在最小的环上。于是他想知道从每个点出发最小的环有多长。藏宝图可以抽象成一个n个点m条边的，边权全为正的无向图，现在你需要求得经过每个点的最小环长是多少。
输入格式
第一行两个数n，m，表示点数和边数。下面m行每行三个整数u,v,l表示点u和点v之间有一条长度为l的无向边。
输出格式
输出n个数，表示经过每个点的最小环长，若没有则输出-1。
数据范围
\(n \le 300, m \le 40000\)
解析
题目并没说不存在自环和重边，那么先把自环和重边统计进答案，去掉自环和重边后的答案一定是一个简单环
先考虑如何统计一个点的答案
设把除\(u\)以外的其他点都加入图后，\(i, j\)两点间的最短路为\(dis(i, j)\)枚举连向\(u\)的边\((u, v1)\)和\((u, v2)\)，答案就是\(min \{ dis(v1, v2) + len(u, v1) + len(u, v2) \}\)
然而每次暴力重新跑\(Floyd\)铁定超时
不难发现统计不同两点的答案时，两图中共有的点很多
于是我们考虑对所有的点分治
\(solve(l, r)\)表示\([l, r]\)的点没在图中的情况，当\(l = r\)时可以统计该点的答案，否则递归地处理两半
处理\([l, mid]\)时把\([mid + 1, r]\)加入图中，处理\([mid + 1, r]\)时把\([l, mid]\)加入图中
这样每个点被加入\(O(\log n)\)次，加入一个点复杂度为\(O(n^2)\)，总复杂度为\(O(n^3 \log n)\)
由于\(\log n\)不到\(10\)，所以可以过这题
注意：3个0x3f3f3f3f3f3f3f3f相加会爆long long
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 305
typedef long long LL;
const LL INF = 0x0f0f0f0f0f0f0f0f;
LL dist[10][MAXN][MAXN], map[MAXN][MAXN], ans[MAXN];
int N, M;
char in_graph[MAXN];
void add(LL[MAXN][MAXN], int);
void solve(int, int, int);
int main() {
freopen("lose.in", "r", stdin);
freopen("lose.out", "w", stdout);
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin >> N >> M;
memset(map, 0x0f, sizeof map);
memset(dist, 0x0f, sizeof dist);
memset(ans, 0x0f, sizeof ans);
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
int x, y; LL z;
std::cin >> x >> y >> z;
if (x == y) ans[x] = std::min(ans[x], z);
ans[x] = std::min(ans[x], map[x][y] + z);
ans[y] = std::min(ans[y], map[x][y] + z);
map[x][y] = std::min(map[x][y], z);
map[y][x] = std::min(map[y][x], z);
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) dist[0][i][i] = 0;
solve(1, N, 0);
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
if (ans[i] ^ INF) std::cout << ans[i];
else std::cout << -1;
if (i ^ N) std::cout << " ";
}
std::cout << std::endl;
return 0;
}
void add(LL d[MAXN][MAXN], int id) {
in_graph[id] = 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
if (!in_graph[i]) continue;
for (int j = 1; j <= N; ++j) {
if (!in_graph[j]) continue;
d[id][i] = std::min(d[id][i], map[id][j] + d[j][i]);
d[i][id] = d[id][i];
}
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
if (!in_graph[i]) continue;
for (int j = 1; j <= N; ++j) {
if (!in_graph[j]) continue;
d[i][j] = std::min(d[i][j], d[i][id] + d[id][j]);
}
}
}
void solve(int l, int r, int dep) {
if (l == r) {
for (int i = 1; i <= N; ++i)
for (int j = i + 1; j <= N; ++j)
ans[l] = std::min(ans[l], dist[dep][i][j] + map[l][i] + map[l][j]);
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
for (int j = 1; j <= N; ++j)
dist[dep + 1][i][j] = dist[dep][i][j];
for (int i = mid + 1; i <= r; ++i) add(dist[dep + 1], i);
solve(l, mid, dep + 1);
for (int i = l; i <= r; ++i) in_graph[i] = 0;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
for (int j = 1; j <= N; ++j)
dist[dep + 1][i][j] = dist[dep][i][j];
for (int i = l; i <= mid; ++i) add(dist[dep + 1], i);
solve(mid + 1, r, dep + 1);
for (int i = l; i <= r; ++i) in_graph[i] = 0;
}
//Rhein_E
