Josephus问题

n个人在一个圆桌上吃饭，每m个人杀掉一个，直到最后剩下一个人。
问最后剩下哪个人？

将人分别标记为0,1,2,...,n-1，得到n的一个完全剩余系。
可得如下递推公式：
            /- (J(n-1,m)+m+1) mod n, 当n>1
J(n,m)=|                                                , n,m∈Z
            \- 0, 当n=1

今天数据结构课在讲这个东西的链表模拟解法。我就开始想数论解法。
这个问题以前困惑过我很久，今天终于想到了用李昌勇教的递归方法来解。


下附网上搜到的一个证明：

这就是Josephus问题  
  设n个人围成一圈，标号为0..n-1，从第一个人开始依次从1到k循环报数，当报到k的时候此人出圈。设J(n,   k,   i)表示第i个出圈的人的标号。  
   
  定理一:  
  J(n,   k,   1)   =   (k-1)   mod   n,   (n   >=   1,   k   >=   1)                           …………   （1）  
   
  证明：  
  由定义直接得证。Q.E.D.  
   
  定理二：  
  J(n+1，k,   i+1)   =   (k   +   J(n,   k,   i))   mod   (n+1),     (n   >=   1,   k   >=   1,   1<=   i   <=   n)   …………   （2）  
   
  证明：  
  设J(n,   k,   i)   =   g，因此如果有n个人，从0开始报号，第i个出圈的标号为g。现在考虑J(n+1,   k,i+1)，因为J(n+1,   k,   1)   =   (k-1)   mod   (n+1)，即第一步的时候删除数字(k-1)   mod   (n+1)，第二步的时候从数字k开始数起。因而问题变为了找到剩下的n个数字中从k开始数起被删除的第i个数字（注意这时(k-1)   mod   (n+1)已经被删除了），而这恰好就是(g+k)   mod   (n+1)，(2)成立。   Q.E.D.  
   
   
  根据（2），很容易求得n个数里面第i个出圈的数。  
   
   
  对于k   =   2,   3的情况，直接可以推导出公式来。但是对于k>=4的情况，还没有推导出公式来，目前最好的算法是一个根据估计J(n,   k,   i)上下界的快速算法。  
   
   
  更具体的分析，参见  
  [1]   Lorenz   Halbeisen,   The   Josephus   Problem,   1994  
  [2]   Woodhouse,   D.   ,   The   extended   Josephus   problem,   Rev.Mat.   Hisp.-Amer.(4)   33   (1973),   207-218  
  [3]   Robinson,   W.   J.，The   Josephus   problem,   Math.   Gazette   44   (1960),   47-52  
  [4]   Jakobczyk,   F.   ,   On   the   generalized   Josephus   problem,   Glasgow   Math.J.14(1973),   168-173

以及一个程序：
  //函数接收n和m，返回最后出圈的是第几个人  
  /*e.g.       yuesefu(5,2)=3  
                    yuesefu(2,100)=1*/  
  int   yuesefu(int   n,int   m)  
  {  
          int   i,r=0;  
          for   (i=2;i<=n;i++)   r=(r+m)%i;  
          return   r+1;  
  }  

证明和程序均来自：http://www.woodcode.com/Soft/15209.html