KMP
KMP算法
前提介绍
KMP算法是一种看模式串在主串中出现次数的优化算法 复杂度为O（n+m）
这个算法理解了不难，不理解只背模板早晚会挂，而且容易忘，建议从头到尾一步一步看完
为了方便描述，我们把S作为子串，T作为模式串,然后下标一定要从1开
设len1为长串，len2为模式串（即短串）
本讲解是参考李煜东蓝书的，把部分不易懂的写了出来，希望对大家有帮助
next数组求解
短串: A B A B A A
下标: 1 2 3 4 5 6
数组: 0 0 1 2 3 1
数组指nxt数组
nxt[2]代表s[1]~s[2]即"AB"，前缀为"A"，后缀为“B"，共有元素的长度为0.
nxt[3]代表s[1]~s[3]即"ABA"，前缀为"AB"，后缀为"BA"，最大前后缀即"A",长度为1.
nxt[4]代表s[1]-s[4]即"ABAB"，前缀为"ABA"后缀为“BAB"，最大前后缀即"AB",长度为2.
nxt[5]代表s[1]~s[5]即"ABABA",前缀为"ABAB"，后缀为"BABA",最大前后缀即"ABA",长度为3.
nxt[i] 表示从第1位到第i位 除去前后都是自身的最大前后缀（所以上面的例子不能有nxt[6]）
我们先好好理解一下nxt数组的意思，然后大声喊十遍：nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，nxt是最大前后缀，
相信大家都已经喊完了，或者跳过了，然后我们看如何求解nxt数组：
朴素做法
对于 \(A[1 - i]\)依次枚举 \(j∈[1,i-1]\), 并检查 \(A[i-j+1,i]\) 和 \(A[1,j]\),复杂度\(O((len2)^3)\)
然后我尝试着写了份代码(最好还是看一看挺好懂的)：
for(int i=1;i<=len2;i++){
for(int j=i-1;j;j--){
int flag=0;
int k=i-j;//k是用来检验后串
for(int n=1;n<=j;n++){
if(t[n]!=t[k+n]){
flag=1;
break;
}
}
if(!flag){
nxt[i]=max(nxt[i],j);
break;
}
}
}
KMP优化
在讲KMP思想之前
我们先证明几个有关KMP的引理
引理
我们先引入一个概念：候选项
如果存在一个j使得\(A[1,j]\)和\(A[i-j+1,i]\)相等，那么我们就能认为\(j\)是\(nxt[i]\)的一个候选项，很显然，\(1 \le j \le nxt[i]\)
现在我们需要证明：若\(j_0\)是\(nxt[i]\)的一个候选项，则小于\(j_0\)的最大的\(nxt[i]\)的候选项是\(nxt[j_0]\)。换言之，\([nxt[j_0]+1,j_0-1]\)之间一定不含\(nxt[i]\)的候选项
这个玩意很重要，看出来这个你的kmp就学完了
这个要用反证法：
假设在\([nxt[j_0]+1,j_0-1]\)之间存在一个\(j_1\)可以当作候选项
我们可以发现，若\(j_1\)是候选项我们可以列出下面两个式子
\(A[1,j_1]\) = \(A[i-j_1+1,i]\)
\(A[1,j_0]\) = \(A[i-j_0+1,i]\)
然后由于是前后缀，所以说第二个式子的每边的后k个也是相等的
\(A[j_0-k+1,j_0]\) = \(A[i-k+1,i]\)
我们钦定\(k=j_1\)
所以说
\(A[j_0-j_1+1,j_0]\) = \(A[i-j_1+1,i]\)
发现和第一个式子有重合，直接把第二个式子换成
\(A[1,j_1]\) = \(A[j_0-j_1+1,j_0]\)
与\(nxt[j_0]\)的最大的性质不符，故假设不成立，即引理正确
如果看不懂，不用看上面的一堆式子直接看图就明白了！
设最浅的块是a，其次是b，最深的是c
则：\(c\)为\(nxt[j_0]\)
\(b+c\) 为 \(j_1\)
\(a+b+c\) 是 \(j_0\)
KMP的操作及实现
由刚才我们发现的这一性质，我们可以发现KMP的若干性质
1.我们可以发现当\(nxt[i-1]\)确认时，我们就可以知道\(nxt[i]\)的所有border从大到小是\(nxt[nxt[i]]\)，\(nxt[nxt[nxt[i]]]\)……
2.我们还可以发现若\(j\)是\(nxt[i]\)的border，那么\(j-1\)也是\(nxt[i-1]\)的border
证明
这个证明很显然，\(j\)如果说是\(nxt[i]\)的border，则\(A[i-j+1,i]\)和\(A[1,j]\)相等
所以说\(A[i-j+1,i-1]\)和\(A[1,j-1]\)必然相等
所以我们在计算\(nxt[i]\)时，只需要把\(nxt[i-1]+1\) , \(nxt[nxt[i-1]]+1\) , \(nxt[nxt[nxt[i-1]]]+1\) ……
作为border即可，且它们一定是从大到小排列
最后，我们就可以告诉大家怎么求了
首先，我们把\(nxt[1]\)赋为0
假设我们已经处理到第\(i\)位(\(2\leq i\leq len\))
那么此时\(nxt[1]\)到\(nxt[i]\)的值都是已知的
我们假设当前的候选项是\(j\)
我们要处理\(i+1\)时，若\(j+1\)和\(i+1\)不可以匹配就让\(j\)跳到\(nxt[i]\)，若可以匹配或者现在border已经变成0了，就要把\(nxt[i+1]\)搞成\(j\)
放个代码
const int N=1e6+10;
int nxt[N];char s[N],t[N];
int n,m,f[N];//s是短串，t是长串
void get_nxt(){
for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
while(s[j+1]!=s[i] && j) j=nxt[j];
if(s[j+1]==s[i]) j++;
nxt[i]=j;
}
}
然后有人要问了，那你求\(nxt\)有什么意义吗，我们要求的不是\(nxt\)啊
那么我们此时再假设一个\(f\)数组表示\(f[i]=max\){\(j\)}，\(j\)表示S的前j位与T的\(T[i-j+1,i]\)位相等
我们发现是不是\(f\)数组的定义其实和\(T\)数组几乎一样啊
所以我们可以直接用求\(nxt\)数组的思想，写出求长串的思想：
void get_f(){
for(int i=1,j=0;i<=m;i++){
while(j && (s[j+1]!=t[i] || j==n)) j=nxt[j];
if(s[j+1]==t[i]) j++;
f[i]=j
if(f[i]==n) cout<<i-n+1<<endl;//如果S串整个串都出现了，就输出匹配的第一个位置
}
}
