题解 POI 2006 OKR-Periods of Words
前排提醒：fail 函数 / 数组 和 next 函数 / 数组 是同一个东西，叫法存在差异，是用于解决失配情况的。个人在这篇题解里使用了 next 的说法，若有差异，敬请理解包涵。
题目大意
个人认为上述 OJ 上的题面足够简洁易懂，故不作解释。
大致思路
见下例，可见答案即为给定字符串所有前缀的最短公共前后缀长度之和。
假定给出的输入为 abababababa，首先我们找出它的其中一个前缀 ababababab 并处理。过程如下：
- 在
ababababab中揪出来一个前缀abababab； - 将
abababab翻倍变成abababababababab； - 合格性检验：将
abababab|abababab与abababab|ab进行比对（因为方便观看所以加了竖线），发现后者较提取出的前缀多出来一个ab，这个ab为揪出来的前缀abababab的最短公共前后缀。
详细做法
此题重难点在「将题目转换成求取最短公共前后缀问题」、「求取最短公共前后缀」和「优化求取过程」这三方面。
· 问题转化
我们还对上述样例进行分析。
假定给出的输入为 abababababa，首先我们找出它的其中一个前缀 ababababab 并处理。处理使用手推，过程如下：
- 在
ababababab中揪出来一个前缀abababab（因为是手推所以找一些方便找规律的）； - 将
abababab翻倍变成abababababababab； - 合格性检验：将
abababab|abababab与abababab|ab进行比对，发现后者较提取出的前缀多出来一个ab，这个ab为揪出来的前缀abababab的前缀。
接下来一组对照：
- 在
ababababab中重新揪出来一个前缀ababab（因为是手推所以再找一个，程序里不会这么做）； - 将
ababab翻倍变成abababababab； - 合格性检验：将
ababab|ababab与ababab|abab进行比对，发现后者较提取出的前缀多出来一个abab，这个abab为揪出来的前缀ababab的前缀。
诶，阅读题目，我们发现我们揪出来的两个前缀都是在处理的原串前缀的「周期」。而我们要的是最大周期，所以需要保留 abababab，而不保留 ababab。
分析 abababab 的性质，多出来的 ab 为揪出来的前缀 abababab 的最短公共前后缀，周期最大就需要公共前后缀最短。而这些原串前缀所需要累加的长度为 最大周期长度 = 字符串长度 - 最短公共前后缀长度。
这个题目就这样通过模拟一下转换完了。
· 求取答案
求取最短公共前后缀的过程不难，但是需要对 KMP 算法的 next 数组有一定的理解。
个人理解：next 数组的意义是，当跑到模式串的第 \(i\) 位时若失配，则跳转到第 \(next_i\) 位继续匹配，是以 \(i\)（下标从 \(1\) 开始）结尾的后缀与串的前缀的最长公共字符串长度，性质满足在长度为 \(i\) 的字符串前缀中，从第 \(1\) 位到第 \(next_i\) 位的字符串是其最长公共前后缀。
等下，出现了最长公共前后缀，和最短公共前后缀只差一个字了，我们需要把它转换成最短公共前后缀。我们可以通过递归 next 数组的方式找到最短公共前后缀：一直递归直到 next[POINTER] = 0，最短公共前后缀则为从 \(1\) 到 POINTER 的字符串。
用一个例子来解释会更清晰明了。
我们现在有一个字符串 abababcababxyzabababcabab，我们需要求它的最短公共前后缀。
首先跑出来 next 数组的结果为 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。
然后设定变量 POINTER = 25，为需要处理的字符串长度。然后进行处理：
- 在这个字符串中，
next[POINTER] = 11，指向字母b，指向长度为 \(11\)，指向字符串为abababcabab，赋值：POINTER = next[POINTER]。 - 在这个字符串（
abababcabab）中，next[POINTER] = 4，指向字母b，指向长度为 \(4\)，指向字符串为abab，赋值：POINTER = next[POINTER]。
特殊说明：无需再跑一遍next数组，因为整个字符串的next数组的前面11位即为此字符串的next数组。 - 在这个字符串（
abab）中，next[POINTER] = 2，指向字母b，指向长度为 \(2\)，指向字符串为ab，赋值：POINTER = next[POINTER]。 - 在这个字符串（
ab）中，next[POINTER] = 0，递归结束。从第一位到第POINTER位（字符串ab）则为大字符串abababcababxyzabababcabab的最短公共前后缀，长度为POINTER = 2。
代码实现就很简单了，while (nxt[POINTER]) POINTER = nxt[POINTER]; 一句就可以完成。
所有的有最长公共前后缀的字符串都可以拆成 \(\rm ABA\) 的形式，其中 \(\rm A\) 长度不为 \(0\)。我们将 \(\rm A\) 拆到最小、不可拆的形式的时候，这个最终的 \(\rm A\) 就是最短公共前后缀。
· 优化过程
考虑一个极端情况：出题人嘿嘿一笑，「我将，扭转万象！」然后给了你一个数据。我将其缩小到了原来的 \(\frac{1}{40000}\)，放到了第一行：
25 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
第二行，如你所见，是跑完 next 数组的结果。这意味着处理这个长字符串的时候你要递归 \(24\) 次，原数据 \(999999\) 次。而这是输入数据，是你要跑的最长的字符串，总共跑完要 \(499999500000\) 次，这个 \(O(n^2)\) 的算法直接会时间超限。
提供两种优化，第一种可以优化到 \(O(n\log n)\)，第二种可以到 \(O(n)\)。第一种是倍增，不再赘述，可以去参考「倍增求 LCA」。
这里主要讲解记忆化搜索。很简单，马上就好。
当你跑完 while 之后，如果 POINTER 不等于你在处理的字符串长度，这证明 while 跑了至少一次。接下来覆盖原先的 next 数组。将处理顺序写为长度从短到长，写好 next 数组的覆盖，就可以了。
代码
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nxt[1919810]; // next 数组
string p; // 读入的字符串，但是因为要跑 getNext 所以写了 pattern 而非 string
int lp; // 字符串的长度（length）
void getNext () { // 跑 next 数组，如果这里不清楚请重新学习 KMP
int j = 0;
nxt[1] = 0;
for (int i = 1; i < lp; i++){
while (j && p[j] != p[i]) j = nxt[j];
if(p[j] == p[i]) j++;
nxt[i + 1] = j;
}
}
signed main () {
cin >> lp >> p;
getNext ();
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= lp; i++) {
int j = i; // j 是指针（POINTER），意义见上文
while (nxt[j]) j = nxt[j]; // 求最短公共前后缀
if (j != i) nxt[i] = j; // 记忆化搜索
ans += i - j; // 处理字符串长度 - 最短公共前后缀长度
}
cout << ans;
}
