HNOI10 设计路线题解

【题目描述】
城市有N个公交车站，排列在一条长为N-1公里的直线上，从左到右依次编号为1到N，
相邻公交车站间的距离均为1公里。按以下规则设计线路：
1．设共有K辆公交车，则1到K号车站作为始发站，N-K+1到N号车站作为终点站。
2．每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经停（始发站和终点站也算被经停）。
3．公交车只能从编号较小的车站驶向编号较大的车站。
4．一辆公交车经停的相邻两个车站间的距离不得超过P公里。
注意“经停”是指经过并停车，因经过不一定会停车，故经停与经过是两个不同的概念。
现在想知道有多少种满足要求的方案。只需求出答案对30031取模的结果。
【输入格式】
只有一行，其中包含用空格隔开的三个正整数N，K，P，分别表示公交车站数，公交车数，
一辆公交车经停的相邻两个车站间的最大距离。
【输出格式】
仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

【输入输出样例】
input output
样例一：10 33 1
样例二：5 23 3
样例三：10 24 81
样例解释：样例一满足要求的方案只有1种，即：(1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)。
样例二
满足要求的方案有3种，即：(1,3,5)，(2,4)；(1,3,4)，(2,5)和(1,4)，(2,3,5)。
【数据规模】
40%的数据满足N≤1000。100%的数据满足1<N<10^9，1<P≤10，K<N，1<K≤P

计数dp蒟蒻先给各位大神跪烂。

看到这个题的第一感觉就是没法下手（搜索没法骗分啊啊啊啊啊啊~~~~~）。

仔细看了看数据规模，发现了p和k的值都很小，感觉这肯定是一个重要条件。

经过分析以后，发现题目要求每个站都必须有公交车经停一次，如果与当前站的距离大于了p，且没有被经停，那么这个站就再也没有机会被经停了。

所以我们可以定义一个状态f[i][State]表示i以及之前的所有站都被经停，state表示i后面p个站哪些地方停了车。（并且保证i站有车停）

每次转移只考虑第i个站的公交车往哪里开就行了。

光是这样还不能通过此题，还要用矩阵快速幂来优化。

具体细节见标程：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int LIM=1<<11;
const int MOD=30031;
const int MAXN=140;
int n,K,p;
int State[MAXN],Cnt[LIM];
int cnt,_,tmp;
struct MATRIX{
    int n,m;
    int Matrix[MAXN][MAXN];
    MATRIX(){
        memset(Matrix,0,sizeof(Matrix));
    }
};
MATRIX r,Ans;
bool Check(int x){
    int Ret=0;
    while(x){
        x-=x&-x;
        Ret++;
    }
    return Ret==K;
}
MATRIX Mult(MATRIX a,MATRIX b){
    MATRIX Ret;
    Ret.n=a.n; Ret.m=b.m;
    for(int i=1;i<=a.n;i++)
        for(int j=1;j<=b.m;j++)
            for(int k=1;k<=a.m;k++)
                Ret.Matrix[i][j]=(Ret.Matrix[i][j]+a.Matrix[i][k]*b.Matrix[k][j])%MOD;
    return Ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&K,&p);
    _=(1<<p)-1;
    tmp=1<<(p-1);//保证最高位是1
    for(int i=0;i<tmp;i++)
        if(Check(tmp+i)){
            State[++cnt]=tmp+i;
            Cnt[tmp+i]=cnt;
        }
    int t;
    r.n=cnt; r.m=cnt;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        t=_&(State[i]<<1);
        for(int j=1;j<=p;j++)
            if(!((t>>(j-1))&1)&&(t+(1<<j-1))>=tmp)
                r.Matrix[i][Cnt[t+(1<<j-1)]]++;
    }
    t=Cnt[((1<<K)-1)<<(p-K)];
    Ans.Matrix[1][t]=1,Ans.n=1; Ans.m=cnt;
    n-=K;
    while(n){
        if(n&1)
            Ans=Mult(Ans,r);
        n>>=1;
        r=Mult(r,r);
    }
    printf("%d",Ans.Matrix[1][t]);
    return 0;
}