6.1 最短路径：Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法

只有五行核心的算法

简介

假设我们有四个点。每个点之间都有一定的距离，或者甚至没有路
现在我们想要知道如何获得两点之间的最短路径
使用之前说的深度优先或者宽度优先当然是可以的，不过有没有更好的办法？
于是我们使用了Floyd-Warshall，先进了一些的算法

算法核心

首先我们要知道，有的时候，通过n个点而从A->B，是有可能比直达得到更短的路径
基于这个思路，我们逐步推进
1.首先是直达，这个就不用说了
2.然后我们假设“如果允许在点1中转”，得到新的结果比较，更新数据
3.慢慢来，随后假设“如果允许在点1和点2中转”，再次更新数据
4.遍历所有可能，得到最终结果

实现

具体怎么实现呢，我们先做一波基础操作
首先首先，我们同样用一个二维数组e来存储路径情况(其实就是图的信息)
然后是比较，以顶点1为例，可以写成：

    for(i=1;i<=n,i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i[e][j] > e[1][j]+e[1][j]){
                e[i][j] = e[i][1]+e[1][j]
                //如果途径1的路程e[1][j]+e[1][j]更小
                //那么把i到j的最短距离更新为e[i][j]+e[1][j]的大小   
                //这里实际就是比较了“当可以途径点1的时候
                //路径是否能够缩短”
            }
        }
    }

点2，点3，点4...都是同理，于是我们使用一个循环解决这件事情：

    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(e[i][j] > e[i][k]+e[k][j])
                    e[i][j] = e[i][k]+e[k][j];

简单粗暴的五行，包含了Floyd-Warshall算法的思想

一句话概括，Floyd-Warshall算法就是：
从i号顶点到j号顶点，只经过前k号点时，其最短路径
通过不断推进，我们最终可以得到从i到j的最短路径

代码实例

    #include <stdio.h>
    int main()
    {
        int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
        int inf = 99999999 ; //预设的“正无穷”

        //读入n和m,n表示顶点个数,m表示边的条数  

        //各种花里胡哨的事情的初始化    
        
        //读入图
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(i==j)    e[i][j] = 0 ;
                else        e[i][j] = inf ;
        
        //读入边    
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
            e[t1][t2] = t3 ;
        }

        //Floyd-Warshall算法 
        for(k=1;k<=n;k++)
            for(i=1;i<=n;i++)
                for(j=1;j<=n;j++)
                    if(e[i][j] > e[i][k]+e[k][j])
                        e[i][j] = e[i][k]+e[k][j];
        
        //最终的输出    
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                printf("%10d",e[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }

        return 0 ;
    }

其实把9999999定义成正无穷还是挺乱挺麻烦的，而且天知道会不会有bug
于是我们还可以增加一些判断条件来改善一下情况

    //Floyd-Warshall算法 
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(e[i][k]<inf && e[k][j]<inf && e[i][j] > e[i][k]+e[k][j])
                    e[i][j] = e[i][k]+e[k][j];

另外...

Floyd-Warshall算法可以处理带有负权边的图
但是没办法处理带有“负权回路”(也叫"负权环")的图