种树（一道简单的差分约束系统）

题目描述

为了绿化乡村，H村积极响应号召，开始种树了。

H村里有n幢房屋，这些屋子的排列顺序很有特点，在一条直线上。于是方便起见，我们给它们标上1~n。树就种在房子前面的空地上。

同时，村民们向村长提出了m个意见，每个意见都是按如下格式：希望第li个房子到第ri个房子的房前至少有ci棵树。

因为每个房屋前的空地面积有限，所以每个房屋前最多只能种ki棵树。

村长希望在满足村民全部要求的同时，种最少的树以节约资金。请你帮助村长。

输入

输入文件名为tree.in

输入第1行，包含两个整数n，m。

第2行，有n个整数ki。

第2~m+1行，每行三个整数li，ri，ci。

输出

输出文件名为tree.out

输出1个整数表示在满足村民全部要求的情况下最少要种的树。村民提的要求是可以全部满足的。

样例输入

tree.in 	 

5 3 

1 1 1 1 1 

1 3 2

 2 4 2 

4 5 1 	 

tree.out

3

tree.in 	

 4 3

 3 2 4 1

 1 2 4

 2 3 5

 2 4 6 	 

tree.out

8

样例输出

【输入输出样例解释1】 如图是满足样例的其中一种方案，最少要种3棵树。

【输入输出样例解释2】如图是满足样例的其中两种方案，左图的方案需要种9棵树，右图的方案需要种8棵树。可以验证，最少需要种8棵树。 

提示

【数据范围】

对于30%的数据，0<n≤100，0<m≤100，ki=1；

对于50%的数据，0<n≤2,000，0<m≤5,000，0<ki≤100；

对于70%的数据，0<n≤50,000，0<m≤100,000，0<ki≤1,000；

对于100%的数据，0<n≤500,000，0<m≤500,000，0<ki≤5,000

用s数组表示前缀和，很容易列出不等式s[r[i]]-s[l[i]-1]>=c[i],和s[i]-s[i-1]<=k[i],还有一个比较容易忘记（我就忘了，然后炸飞）s[i]-s[i-1]>=0

看到这一串不等式，差分约束系统就很明显了。移项，得到s[r[i]]>=s[l[i]-1]+c[i],s[i]>=s[i-1]+0,s[i-1]>=s[i]+(-k[i]),根据三角形不等式连变，l[i]-1到r[i]连一条权值为c[i]的边(1<=i<=m)，i-1到i连一条权值为0的边(1<=i<=n)，i到i-1连一条权值为-k[i]的边(1<=i<=n)。

然后跑最长路SPFA。

附上代码

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cmath>  
#include<algorithm>  
#include<cstdlib>  
#include<cstring>  
#include<queue>  
using namespace std;  
int n,m,vet[3000000],Next[3000000],head[1000000],en,b[1000000],s,t;  
bool vis[1000000];  
long long w[3000000],dis[1000000];  
queue<int> Q;  
void addedge(int u,int v,long long val){  
    en++;  
    vet[en]=v;  
    w[en]=val;  
    Next[en]=head[u];  
    head[u]=en;  
}  
int main(){  
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++){  
        long long x;  
        scanf("%lld",&x);  
        addedge(i,i-1,-x);  
    }  
    for(int i=1;i<=m;i++){  
        long long z;  
        int x,y;  
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);  
        addedge(x-1,y,z);  
    }  
    for(int i=0;i<=n;i++)  
        addedge(n+1,i,0);  
    for(int i=1;i<=n;i++)
    addedge(i-1,i,0);//不要忘记
    s=n+1;  
    t=n;  
    vis[s]=true;  
    b[s]=1;  
    Q.push(s);  
    for(int i=0;i<=n;i++)  
        dis[i]=-1000000000;  
    while(!Q.empty()){  
        int u=Q.front();  
        Q.pop();  
        vis[u]=false;  
        for(int i=head[u];i;i=Next[i]){  
            int v=vet[i];  
            if(dis[u]+w[i]>dis[v]){  
                dis[v]=dis[u]+w[i];  
                b[v]++;  
                if(!vis[v]){  
                    Q.push(v);  
                    vis[v]=true;  
                }  
            }  
        }  
    }  
    printf("%lld\n",dis[t]);  
    return 0;  
}