暑期培训7日游解题思路（day1~day3）

暑期培训7日游解题思路（day1~day3）

day1

第一天，王聿中老师出的题目比较简单，T1很水，T2是个简单的DP，T3还是有一点意思的。在网格图中删掉若干条边，使得所有格子都联通，求删掉的边的长度和最小为多少。很容易发现这是一个最小生成树问题，但点和边数量非常大，不可能完成一般的建图，然后发现这是网格图，同一行的竖边都相等，同一列的横边也都相等。克鲁斯卡尔每次找最短的边e（u，v），若u，v在不同的连通块，则取该边。所以在本题中如果要取某一条边，与它长度相等的边如果可以去就要取，因此每一次可以打通一列或一行，这样只要记录下有几行几列已经被打通，就可以统计出答案。一个对克鲁斯卡尔的变形，也比较容易。1个多小时就把比赛AK了，一共10人AK，不过之后的比赛再也看不到300了。

day2

题目也不算难。
T1依然是水题，想怎么做就怎么做。
T2是一道不错的题目，题目大意：有4组数，每组n个，每组个选一个数组成一个四元组，使得四个数相乘模p等于1，保证p是质数。n<=1000.
最暴力的方法是n^4次枚举，显然不行。这个规模应该要O（n^2）或O(n^2 log n).
也就是说只能枚举两个。于是可以先枚举前面两个，把它们记下来，排序，然后枚举后面两个，求乘积的逆元，在那个有序序列中查询。这样子时间复杂度O(n^2 logn).
这种方法叫做Meeting in the middle，是一个重要的优化方法。
T3是一道有趣的题目，题目大意：一条长度固定的贪吃蛇（l<=8），在n*m的网格图上（n,m<=20），网格图上有k个障碍物（保证l+k<=n*m），任意时刻蛇不能有两节在同一个格子上。给定蛇的每一节的初始位子，问蛇头到目标位置最少要多少时间。
看到数据比较小，大胆地写了一个玄学搜索，加了一些靠谱的小优化，程序跑得飞快，自己出的大数据可以在0.01秒内跑完，以为稳了，打了接近两个小时的扫雷……结果TLE了……50分，还好。
不要玄学这种东西，我们来看正解。蛇当然是连续的（不然怎么活），在网格图中只有4种方向，所以蛇头的位置和每一节弯曲的方向（状压）就可以确定所有的状态。20*20*4^7次，可以接受。写一个宽搜，用一个数组记录每一个状态是否到过，于是一个时间复杂度稳定的算法就出现了。其实还可以优化，但不是很有必要，除了第二个方向，后面每一节都只有三个可能的方向，所以只要20*20*4*3^6个状态。

day3

T1是个模拟题，跳过。
T2比前面两个T2要难得多。题目大意：有一个n*m的网格，每一个格子是“.”或“*”，求一个由“.”的格子组成的矩形周长最大是多少。这道题似乎与这道题差不多（好像是一模一样……）

房屋建造

题目描述

小明是一位有名的建筑师。他买了一块地来建造房子。不幸的是，这块地的地势是会变化的，它有一个可变仰角。
土地的形状是一个长方形，N米宽M米长。它可以被分为N*M个方块（见下图）。小明的房子也是一个长方形，房子的边与土地的边都是平行的。为了房子不会倒塌，小明建房子的土地必须都是同一个地势的。

上图中小明建立房子的其中两种是红色和蓝色覆盖的区域。计算小明可以有多少种方式来建立他的房子。

输入

输入第一行包括两个整数N和M（1≤N，M≤1000）。
接下来的N行中每行包括M个整数ai,j（1≤ai,j≤10^9），表示每一块土地的地势高度。

输出

输出一个整数，表示小明最多有多少种建立房子的方式。

样例输入

5 3
2 2 2
2 2 1
1 1 1
2 1 2
1 2 1

4 3
1 1 1
1 1 1
2 2 2
2 2 2

样例输出

27

36

提示

【数据范围】

20%的测试数据中，N，M≤50。

60%的测试数据中，N，M≤500。

解题思路：预处理出以每一个格子为底的最长的连续“.”的长度a[i][j]。然后枚举每一行，用单调队列预处理出每一个点向左、向右的最长的距离l[j]、r[j]，使得距任意离内的a[i][k]>=a[i][j],然后枚举每一个点ans=max(ans,(l[j]+r[j]+1+a[i][j])*2)