「学习笔记」不动点法求数列通项

前言

不动点法求数列通项是怎么回事呢？不动点法相信大家都很熟悉，但是不动点法求数列通项是怎么回事呢，下面就让小编带大家一起了解吧

不动点法求数列通项，其实就是数列通项可以通过寻找不动点求得，大家可能会很惊讶不动点法怎么会求数列通项呢？但事实就是这样，小编也感到非常惊讶

这就是关于不动点法求数列通项的事情了，大家有什么想法呢，欢迎在评论区告诉小编一起讨论哦

递推数列与函数迭代

对于 一阶递推数列，数列递推式可以表示成：

$$a_{n+1}=f(a_n)$$

所以，当我们知道 $a_1$ 之后，就能够求出数列中各项的值

$$\begin{array}{rl}{a}_2& =f(a_1)\\ a_3& =f(f(a_1))\\ & \cdots \\ a_n& =\underset{n-1\mathrm{个}f}{\underbrace{f(f(f(\cdots f(}}{a}_1))))\end{array}$$

所以，求解递推数列和求解函数迭代在本质上是一样的

设 $n$ 次迭代函数

$$f^{(n)}(x)=\underset{n\mathrm{个}f}{\underbrace{f(f(f(\cdots f(}}x))))$$

并补充定义

$$f^{(0)}(x)=x$$

所以，有

$$a_n=f^{(n-1)}(a_1)$$

于是，求解递推数列的问题就转化为了求解函数迭代

不动点的概念与性质

我们定义 不动点 ：

对于函数 $f(x)$，$\mathrm{\exists }{x}_0,f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的 不动点

可以发现，一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点，即

$$f^{(n)}(x_0)=f^{(n-1)}(x_0)=\cdots =f(x_0)=x_0$$

但是，迭代函数的不动点不一定是原始函数的不动点，比如 $f(x)=\frac{1}{x}$

我们定义 数列的不动点 ：

一般的，对于递推数列 $\{x_n\}$，其递推式为 $x_{n+1}=f(x_n)$，$\mathrm{\exists }{x}_0,f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$，是 数列 $\{x_n\}$ 的不动点

也就是说，若从数列 $\{x_n\}$ 某一项 $x_k$ 开始，数列的取值为 $x_0$，即 $x_k=x_0$，则

$$\begin{array}{rl}{x}_{k+1}& =f(x_k)=f(x_0)=x_0\\ x_{k+2}& =f(x_{k+1})=f(x_0)=x_0\\ \cdots \\ x_{k+n}& =f(x_{k+n-1})=f(x_0)=x_0\end{array}$$

归纳得到，当 $n\ge k$ 时，$x_n=x_0$，即数列 $\{x_n\}$ 在 $k$ 之后 不动 了

有时候，数列 $\{x_n\}$ 中的值可能会取不到 $x_0$，但会 收敛 于 $x_0$，即

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0$$

值得注意的是，不动点也可能 在实数域无解，此时的数列大多为 周期数列

换元法与函数相似

对于一个函数 $f(x)$，设 $t=\phi (x)$，其中，为了简化问题，$\phi (x)$ 为定义域到值域的 满的单射（一一对应），这时就能用反函数表达 $x={\phi }^{-1}(t)$，即

$$f(x)=f({\phi }^{-1}(t))$$

接下来，就需要表达出 $f^{(n)}(x)$ 在 换元形式 下的表达方式

从二次迭代开始，我们把 $f(f(x))$ 看作 复合函数，其中，外层的自变量 $x^{\prime }=f(x)$，将其换元得到

$$t^{\prime }=\phi (x^{\prime })=\phi (f({\phi }^{-1}(t)))$$

设 $g(t)=\phi (f({\phi }^{-1}(t)))$，计算其迭代，有

$$\begin{array}{rl}g(g(t))& =\phi (f({\phi }^{-1}(\phi (f({\phi }^{-1}(t))))))\\ & =\phi (f(f({\phi }^{-1}(t))))\end{array}$$

即

$$g^{(2)}(t)=\phi (f^{(2)}({\phi }^{-1}(t)))$$

同理，归纳得到

$$g^{(n)}(t)=\phi (f^{(n)}({\phi }^{-1}(t)))$$

我们定义 函数相似 ：

对于两个函数 $f(x),g(x)$，$\mathrm{\exists }\phi (x)$ 及其反函数 ${\phi }^{-1}(x),g(x)=\phi (f({\phi }^{-1}(x)))$，则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 通过 $\phi (x)$ 相似，记作 $f\stackrel{\phi }{\sim }g$，其中 $\phi (x)$ 称作 桥函数

• 性质 $1$：若 $f\stackrel{\phi }{\sim }g$，则 $f^{(n)}\stackrel{\phi }{\sim }{g}^{(n)}$

上文已经做过证明

• 性质 $2$：若 $f\stackrel{\phi }{\sim }g$，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的 不动点一一对应

证明：

对于函数 $g(x)$ 的不动点 $x_0$，有

$$g(x_0)=\phi (f({\phi }^{-1}(x_0)))=x_0$$

于是

$$f({\phi }^{-1}(x_0))={\phi }^{-1}(x_0)$$

即 ${\phi }^{-1}(x_0)$ 为 $f(x)$ 的不动点，即 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的 不动点一一对应

不动点法求解数列通项

如此，不难想到 利用不动点法求解函数迭代

具体过程就是，当我们求解一个较复杂的函数 $f(x)$ 的迭代时，可以寻找一个 与之相似但形式更简单的函数 $g(x)$，通过计算 $g^{(n)}(x)$，再根据

$$g^{(n)}(x)=\phi (f^{(n)}({\phi }^{-1}(x)))$$

得出

$$f^{(n)}(x)={\phi }^{-1}(g^{(n)}(\phi (x)))$$

从而简化问题，计算出了 $f(x)$ 的迭代

而在数列中，迭代容易计算的函数就是所学过的 等差数列 $g(x)=x+b$ 和 等比数列 $g(x)=kx$，其中前者的不动点为 $\pm \mathrm{\infty }$，后者的不动点为 $0$ 和 $\pm \mathrm{\infty }$

由上文，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的不动点要 一一对应 ，也就是对于 $f(x)$ 的不动点 $x_0$，有 $\phi (x)$ 是 $g(x)$ 的不动点

如果只考虑不动点之间的对应关系，我们可以这样简单地构造一个 桥函数 $\phi (x)$：

• 若 $f(x)$ 有 唯一不动点 $x_0$，令 $\phi (x)=\frac{1}{x-x_0}$，这样 $\phi (x_0)=\mathrm{\infty }$ 是 $g(x)=x+b$ 的不动点

• 若 $f(x)$ 有 两个不动点 $x_1,x_2$，令 $\phi (x)=\frac{x-x_1}{x-x_2}$，这样 $\phi (x_1)=0,\phi (x_2)=\mathrm{\infty }$ 都是 $g(x)=kx$ 的不动点

当然构造的方法是多样的，这里只写了这两种

总结一下上述过程，那么 不动点法求解数列通项 的步骤就是

1. 找点 ：将递推式中的 $a_n,a_{n+1}$ 均换成 $x$ 求解不动点

2. 构造 ：按照上文方法构造 $b_n=\frac{1}{a_n-x_0}$ 或者 $b_n=\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}$，代入原递推式，化简，得到数列 $\{b_n\}$ 的递推式，求解其通项公式

3. 求解 ：根据 $\{a_n\},\{b_n\}$ 之间的关系，求解 $\{a_n\}$ 通项公式

需要知道，不动点法一般用于求解 分式形式 的递推式，而向、像上文一样构造，还能简化式子，非常美丽，虽然它也可以用于一般的递推式，但是本人认为不如 待定系数法 来得快一些，而最后两者构造出的数列是相同的

当然，上文也提到，不动点也可能 在实数域无解，此时的数列大多为 周期数列

简单理解就是，若根为复数，将它变为 三角函数形式 之后，这个玩意大概率是有周期的

其实，不动点在实数域无解，是这个数列为周期数列的 必要不充分条件

所以，当我们判断无解后，可以代几个数进去验证一下，毕竟高考题不会把周期 $T$ 出的太大

一些例题

例 $1$ ：设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{5a_n-1}{a_n+3}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

将 $a_n,a_{n+1}$ 替换成 $x$，有

$$x=\frac{5x-1}{x+3}\iff (x-1{)}^2=0$$

所以 $x=1$ 为数列 $\{a_n\}$ 的不动点，按照上文，构造数列

$$b_n=\frac{1}{a_n-1}$$

将原式左右两边同时减去不动点 $x=1$，来配凑出数列 $\{b_n\}$，有

$$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-1& =\frac{5a_n-1}{a_n+3}-1\\ \iff \frac{1}{a_{n+1}-1}& =\frac{a_n+3}{4a_n-4}\\ \iff \frac{1}{a_{n+1}-1}& =\frac{1}{a_n-1}+\frac{1}{4}\end{array}$$

所以数列 $\{b_n\}$ 为首项为 $1$，公差为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，有

$$b_n=\frac{1}{a_n-1}=1+(n-1)\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}n+\frac{3}{4}$$

$$\therefore a_n=\frac{n+7}{n+3}$$

例 $2$ ：设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_{n+1}=\frac{4a_n-2}{a_n+1}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

将 $a_n,a_{n+1}$ 替换成 $x$，有

$$x=\frac{4x-2}{x+1}\iff (x-1)(x-2)=0$$

所以 $x_1=1,x_2=2$ 为数列 $\{a_n\}$ 的不动点，按照上文，构造数列

$$b_n=\frac{a_n-1}{a_n-2}$$

将原式左右两边同时减去不动点 $x_1=1,x_2=2$，来配凑出数列 $\{b_n\}$，有

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}-1=\frac{4a_n-2}{a_n+1}-1=\frac{3(a_n-1)}{a_n+1}& \mathrm{①}\\ a_{n+1}-2=\frac{4a_n-2}{a_n+1}-2=\frac{2(a_n-2)}{a_n+1}& \mathrm{②}\end{array}$$

令 $\frac{\mathrm{①}}{\mathrm{②}}$，有

$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2}=\frac{3}{2}\times \frac{a_n-1}{a_n-2}$$

所以数列 $\{b_n\}$ 为首项为 $2$，公比为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列，有

$$b_n=\frac{a_n-1}{a_n-2}=2\times (\frac{3}{2}{)}^{n-1}$$

$$\therefore a_n=\frac{8\times 3^n-3\times 2^n}{4\times 3^n-3\times 2^n}$$

例 $3$ ：设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

将 $a_n,a_{n+1}$ 替换成 $x$，有

$$x=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\iff (x+1)(x-1)=0$$

所以 $x_1=-1,x_2=1$ 为数列 $\{a_n\}$ 的不动点，按照上文，构造数列

$$b_n=\frac{a_n+1}{a_n-1}$$

将原式左右两边同时减去不动点 $x_1=-1,x_2=1$，来配凑出数列 $\{b_n\}$，有

$$\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}+1=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})+1=\frac{(a_n+1{)}^2}{2a_n}& \mathrm{①}\\ a_{n+1}-1=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})-1=\frac{(a_n-1{)}^2}{2a_n}& \mathrm{②}\end{array}$$

令 $\frac{\mathrm{①}}{\mathrm{②}}$，有

$$\frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=(\frac{a_n+1}{a_n-1}{)}^2$$

$$\therefore b_n=\frac{a_n+1}{a_n-1}=3^{2n}$$

$$\therefore a_n=\frac{3^{2^{n-1}}+1}{3^{2^{n-1}}-1}$$

例 $4$ ：设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{1+a_n}{1-a_n}$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

将 $a_n,a_{n+1}$ 替换成 $x$，有

$$x=\frac{1+x}{1-x}\iff x^2+1=0$$

此时无解，考虑 $\{a_n\}$ 为周期数列

$$a_{n+1}=\frac{1+\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}}}{1-\frac{1+a_{n-1}}{1-a_{n-1}}}=-\frac{1}{a_{n-1}}=a_{n-3}$$

所以 $\{a_n\}$ 为周期为 $4$ 的数列

$$\therefore a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}& n\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ 3& n\equiv 2(\mathrm{mod}4)\\ -2& n\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ -\frac{1}{3}& n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\end{array}$$

写在最后

也许直接记住结论比较好捏，但是就是感觉太突兀没道理就来学了学，理解一下可能还会用的灵活一点

大量 借鉴 了其他博客，链接放在了下面

aaaaaa

$\text{Reference}$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/104544760

https://zhuanlan.zhihu.com/p/116434438