[模板]莫比乌斯反演

前置技能：整除分块

计算形如$\sum\limits_{i=1}^{n}a_if(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$的式子

可以发现$\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$只有$O(\sqrt{n})$种取值，且相同的取值的i是连续的，所以可以$O(\sqrt{n})$来求

需要能快速求出$a_i$的前缀和（配合各种筛）

和i相同的的最后一个位置，是$n/(n/i)$

例：$\sum{\mu(i)\frac{n}{i}\frac{m}{i}}$

inline int calc(int n,int m){
    if(n>m) swap(n,m);
    int i=1,pos=1,re=0;
    for(;i<=n;i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        re+=(mu[pos]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }return re;
}

 

莫比乌斯函数$\mu$

定义：

　　当x有次数>=2的质因子时，$\mu(x)=0$

　　否则，设k为x的质因子数量，$\mu(x)=(-1)^k$

　　特殊地，$\mu(1)=1$ （其实也不特殊..）

$\mu$是积性函数，可以线性筛出。有时也可以作为容斥系数

有$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，可用二项式定理证明

 

莫比乌斯反演

已知数论函数$F(n)$且$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$

则有$f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$

以及另一种形式（d是n的倍数）：

$F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)$

$f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$

具体应用时，需要构造想求的f和好求的F

 

例题

luogu2155 YY的GCD ,做法先参见http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8652288.html

#include<bits/stdc++.h>
#define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define MP make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pa;
const int maxn=1e7+10;

inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}

int g[maxn],pri[maxn],cnt,T,mu[maxn];
bool np[maxn];

inline ll calc(int n,int m){
    if(n>m) swap(n,m);
    ll re=0;
    for(int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        re+=1ll*(n/i)*(m/i)*(g[pos]-g[i-1]);
    }return re;
}

int main(){
    //freopen("","r",stdin);
    int i,j,k;
    g[1]=0;np[1]=1;mu[1]=1;
    for(i=2;i<=1e7;i++){
        if(!np[i]){
            pri[++cnt]=i;
            g[i]=1;mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=1e7;j++){
            np[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                g[i*pri[j]]=mu[i];break;
            }
            g[i*pri[j]]=mu[i]-g[i];
            mu[i*pri[j]]=mu[i]*mu[pri[j]];
        }
    }
    for(i=1;i<=1e7;i++) g[i]+=g[i-1];
    for(T=rd();T;T--){
        printf("%lld\n",calc(rd(),rd()));
    }
    return 0;
}