整体二分

整体二分

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什么是整体二分：

　　一般情况下，我们用的二分是对答案进行，但总会有这么一种情况要进行多次二分操作。所以，就有人发明了整体二分这种骚操作。
　　整体二分主要是把所有询问放在一起二分答案，然后把操作也一起分治。

什么时候用呢？

1. 当你发现多组询问可以离线的时候。
2. 当你发现询问可以二分答案而且check复杂度对于单组询问可以接受的时候。
3. 当你发现询问的操作都是一样的的时候。

其实就是题目允许离线，并且询问可以通过二分回答时，可以使用整体二分。

现在我们想想：二分答案的时候，对于一个答案，是不是有无用操作，或有些操作贡献是不变的？

比如二分一个时间，那么时间后面发生的操作就是没有用的，时间前面的贡献是不变的。
二分一个最大值，比mid大的都是没用的，比mid小的个数是一定的。
整体二分就是利用了这么一个性质。

做法与时间复杂度分析：

　　假设所有的询问按时间顺序构成序列 $ Q = (q_1,q_2\cdots q_p) $ ，所有询问,的答案都落在区间 $ [L_0, R_0]$ 当中。
　　首先得到区间 $ [L_0, R_0] $ 的中点 $ mid $，将序列分成两个不相交的部分 $ Q_1,Q_2 $，满足 $Q_1 \cup Q_2 = Q $ ，
序列 $ Q_1 $ 中所有询问的答案不超过 $ mid $ ， $ Q_2 $ 中所有询问的答案全部大于 $ mid $ 。
　　对 $ Q_1, Q_2 $ 递归执行以上步骤， 要求对于任意一个子序列 $ Q′ $ 和对应的区间 $ [l, r] $，将 Q′ 分成两部分的时间不超过 $ O(jQ′j) $，这样可以回答所有询问，时间复杂度 $ O(p log(R_0 − L_0)) $ 。如果 $ r − l $ 不是很大，那么也可以用 $ O((| Q |) + O(r − l) )$ 的时间将序列分成两部分，总复杂度为 $ O( (p + R_0 − L_0) log(R_0 − L_0) ) $。