匈牙利算法
二分图匹配
二分图的最大匹配：匈牙利算法
讲之前本蒟蒻先普及一个重要专业名词
增广路。
如果你仔细读过并画过图，不难发现如果找到一条增广路，那么配对的个数就会加1。
所以说，增广路的本质其实就是一条路径的起点和终点都未配对的点的边。
匈牙利算法：
这个叫匈牙利算法(Hungarian method)的东西是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，所以叫匈牙利算法。匈牙利算法是二分图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
复杂度：
时间复杂度 :
邻接矩阵最坏为 $ O( n^3 ) $
邻接表：$ O(mn) $
空间复杂度 :
邻接矩阵：$ O( n^2 ) $
邻接表：$ O(n+m) $
另一个重要概念：二分图
二分图是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集，则称图G为一个二分图。
学过高中数学的话应该能看懂我在说什么（逃
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。满足这样的图就叫二分图。
但我们怎么判断一个图是不是二分图？？？
其实也不难，用红蓝点的方法就行。首先讲任意的一个顶点染成红色，再把这个点相邻的顶点染成蓝色，如果按照这种染色方式可以将所有的顶点全部着色，并且相邻的顶点的颜色不同，那么该图就是一个二分图。
这里贴一下代码
#define MAXV 1000//这里应该根据题目自定
vector<int> G[MAXV]; //图
int V; //顶点数
int color[MAXV]; //顶点的颜色 （1 or -1）
//顶点v，颜色c
bool dfs(int v,int c){
color[v] = c;
//把当前顶点相邻的顶点扫一遍
for(int i = 0;i < G[v].size(); i++){
//如果相邻顶点已经被染成同色了,说明不是二分图
if(color[G[v][i]] == c) return false;
//如果相邻顶点没有被染色,染成-c,看相邻顶点是否满足要求
if(color[G[v][i]] == 0 && !dfs(G[v][i],-c)) return false;
}
//如果都没问题，说明当前顶点能访问到的顶点可以形成二分图
return true;
}
void solve(){
//可能是不连通图，所以每个顶点都要dfs一次
for(int i = 0;i < V; i++){
if(color[i] == 0){
//第一个点颜色为 1
if(!dfs(i,1)){
cout << "No" << endl;
return;
}
}
}
}
这才是正文！！！
既然上面本蒟蒻已经介绍完了有关二分图的知识，那下面该讲下匈牙利算法了！！！
根据上文的描述，既然增广路的作用是“改进匹配方案”（即增加配对数），那么如果我们已经找到了一种匹配方案，不难发现如果在当前匹配方案下再也找不到任何增广路的话，那么当前匹配就是二分图的最大匹配，算法如下。
1.首先从任意的一个未配对的点u开始，从点u的边中任意选一条边（假设这条边是从 $ u->v $ ）开始配对。如果点v未配对，则配对成功，这是便找到了一条增广路。如果点v已经被配对，就去尝试“连锁反应”，如果这时尝试成功，就更新原来的配对关系。
所以这里要用一个 $ matched[v] = u $ 。配对成功就将配对数加1,。
2.如果刚才所选的边配对失败，那就要从点u的边中重新选一条边重新去试。直到点u
配对成功，或尝试过点u的所有边为止。
3.接下来就继续对剩下的未配对过的点一一进行配对，直到所有的点都已经尝试完毕，找不到新的增广路为止。
4.输出配对数。
CODE：
//如果你已经读完题，请自动从int main()处开始阅读
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define N 2010
using namespace std;
int n,m,e,ans;
int vis[N][N];
int ask[N],matched[N];
inline bool found(int x){ //dfs找增广路
for (int i = 1 ; i <= m ; i++)
if (vis[x][i]){
if (ask[i])
continue;
ask[i] = 1;
if (!matched[i] || found(matched[i])) {
matched[i] = x ;
return true;
}
}
return false;
}
inline void match(){
int cnt = 0;//cnt是计数器
memset(matched,0,sizeof(matched));
for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
memset(ask,0,sizeof(ask));
if (found(i))
cnt++; //找到了就加1
}
ans = cnt;
}
//从这里向下看起
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);//结点个数分别为n,m，边数为e
for (int i = 1 ; i <= e ; i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
vis[x][y] = 1;
}
match();///匈牙利算法，见上
printf("%d \n",ans);
return 0;
}
再补一个临接表的实现（就只放函数）
bool dfs(int x) {
for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].to) {
int v = e[i].from;
if(!used[v]) {
used[v] = 1;
if(!matched[v] || dfs(matched[i]) ) {
matched[v] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int match() {
int res = 0;
memset(match,-1,sizeof(match) );
for(int u = 0 ; u < uN ; u++) {
memset(used, -1 , sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;
}
return res;
}
完结撒花（逃！！！
