【头疼的模板】三维偏序（陌上花开）

CDQ分治 + 树状数组 的模板题

这道题是zyd在济南三期qbxt讲bitset的时候提到的，不过我好像当时秒了正解的样子。。。

\(===========================分割线================================\)

什么是CDQ分治：

其实cdq分治的思想与应用都能被很简单地描述——它是用来解决各种区间段转移问题\(x -> y (x < y)\)的一种算法。
我们用f[x]表示位置x转移之后的结果，用solve(l,r)来传递完全限制在[l,r]范围内的状态转移，并且转移\(a->b\)一定有\(a<b\)
那么对于solve(l,r)

1.可以把这些问题排成一个序列，用一个区间[L,R]表示。
2.分。递归处理左边区间[L,M]和右边区间[M+1,R]的问题。
3.治。合并两个子问题，同时考虑到[L,M]内的修改对[M+1,R]内的查询产生的影响。即，用左边的子问题帮助解决右边的子问题

这样CDQ分治就做完啦

那CDQ有什么好处呢？

CDQ分治是我们处理各类问题的重要武器
它的优势在于可以顶替复杂的高级数据结构，而且常数比较小；
缺点在于必须离线操作。

然后我们考虑下这道题的解法：

   我们考虑一下，这道题的要求是求三维偏序，但是好像CDQ分治只能求二维偏序的样子qwq。。。
   所以我们先在CDQ分治之前，把其中1维变成有序的，然后再分治下去，这时在区间\([l,mid]\)关于区间\([mid + 1,r]\)就不存在某一维的逆序了，所以就只剩下2维，于是就将三维偏序成功的转化为可以用CDQ分治来解的二维偏序问题。
   这个时候来一波树状数组求逆序对的操作搞一下二维偏序，就可以把跨过中线的，左边更新右边的情况计算出来,然后左右两边递归处理就好了。。。

注意：只计算左边的操作对右边的询问的贡献！！！

时间复杂度 : 分治 + 树状数组 = \(O(nlog^2 n)\)

CODE:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;
const int N = 200100;

struct QAQ {
	int x,y;
	int z,p;
	inline bool operator == (const QAQ &b) const {
		return x == b.x && y == b.y && z == b.z;
	}
    inline bool operator < (const QAQ &b) const {
		return y < b.y || (y == b.y && z < b.z);
	}
}a[N],c[N];
int m,n,ans[N],opt[N];

inline int lowbit(int x){
	return (x & (-x));
}
inline bool cmp(QAQ a,QAQ b) {
	return a.x < b.x || (a.x == b.x && (a.y < b.y || (a.y == b.y && a.z < b.z)));
}
void print(int x,int y) {
	for( ; x <= m ; x += lowbit(x)) {
		opt[x] += y;
	//	x += lowbit(x);
	}
}
int gets(int x) {
	int sum = 0;
	for(; x ; x-= lowbit(x)) {
		sum += opt[x];
		//x -= lowbit(x);
	}
	return sum;
}
void clean(int x) {
	for(;x <= m;x += lowbit(x)) {
		opt[x] = 0;
	}
}
void CDQ(int l,int r) {
	if(l >= r) return ;
	int mid = (l + r) >> 1;
	CDQ(l,mid);
	CDQ(mid+1,r);
	int i = l; 
	for(int j = mid+1 ; j <= r ; j++) {
		while(i <= mid && a[i].y <= a[j].y) {
			print(a[i].z,1);
			i++;
		}
		a[j].p += gets(a[j].z);
	}
	for(int i = l ; i <= mid ; i++) clean(a[i].z);
	for(int i = l ; i <= r; i++) c[i] = a[i];
	i = l; int j = mid+1;
	for(int k = l ; k <= r ; k++) {
		if(j > r || ((i <= mid && c[i] < c[j]))) {
			a[k] = c[i++];
		}else a[k] = c[j++];
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1 ;i <= n ; i++) {
		scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
	}
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	CDQ(1,n);
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int i = 1;
	while(i <= n) {
		int j = i ,Max = 0;
		while(j <= n && a[i] == a[j])
			Max = max(Max,a[j++].p);
			ans[Max] += j-i;
			i = j;
	}
	for(int i = 0 ; i < n ; i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}