hdu5492

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陈大哥的毒瘤题T1

题意：

差不多就是根据题意推式子，求最小方差。

解法：

首先，可以观察到，如果我们直接暴力去取平均数，很大概率会取出来小数，所以一个很直观的想法就是把平均数从式子里消去，让小数对结果不产生影响。
首先我们知道 $ ans = (n+m-1) \sum_{i=1}^{n+m-1} (A_i - A_{avg}) ^ 2 $ ，根据数学知识可知 $ ans = \sum_{i=1}^{n+m-1} (A_i^2 - 2 \times A_{avg} \times A_i + A_{avg}^2) $ ， 将式子拆分后得 $ ans = (n+m-1)(A_1^2 + \cdots + A_{n+m-1}^2 ) + 2A_{avg}(n+m-1)(A_1 + \cdots + A_{n+m-1}) + (n + m - 1)^2 A_{avg}^2 $
令 $ sum = A_1 + \cdots + A_{n+m-1} = \sum_{i = 1}^{n+m-1} A_i $ , 又因为 $ A_{avg} = \frac{\sum_{i=1}^{n+m-1}}{n+m-1} = \frac{sum}{n+m-1} $
所以原式可化为 $ ans = (n+m-1)\sum_{i=1}^{n-m+1} A_i^2 - sum $
所以现在我们只需要求出对一个给定的sum，求出最小的 $ \sum_{i=1}^{n+m-1}A_i2 $ 即可。
所以定义状态 $ f[i][j][k] $ 表示走到 $ (i,j) $ 时，总和为k的最小代价
答案就是 $ (n+m-1)f[i][j][k] - k^2 $ 的最小值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

#define LL long long

int a[40][40],m,n,T;
int dp[40][40][2000],rk;

inline void open_judge() {
    freopen("path.in","r",stdin);
    freopen("path.out","w",stdout);
}

int main() {
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        rk++;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            for(int j = 1 ; j <= m ; j++) {
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        for(int i = 0 ; i <= n ; i++) {
            for(int j = 0 ; j <= m ; j++) {
                for(int k = 0 ; k <= 1800 ; k++) {
                    dp[i][j][k] = 1e8;
                }
            }
        }
        dp[1][1][a[1][1]] = a[1][1] * a[1][1];
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            for(int j = 1 ; j <= m ; j++) {
                if(i == 1 && j == 1) continue;
                for(int k = a[i][j] ; k <= 1800 ; k++)
                    dp[i][j][k] = min(dp[i - 1][j][k - a[i][j]],dp[i][j - 1][k - a[i][j]]) + a[i][j] * a[i][j];
            }
        }
        LL ans = 2147483647;
        for(int k = 0 ; k <= 1800 ; k++) {
            LL tmp = 1ll * (n + m - 1) * dp[n][m][k] - k * k;
            if(ans > tmp) ans = tmp;
        }
        printf("Case #%d: %d\n",rk,ans);
    }
    //system("pause");
    return 0;
}