递推3--位数问题

递推3--位数问题

一、心得

问题想清楚

注意边界

二、题目及分析

三、代码及结果

方法一：排列组合

/*
位数问题 ：
在所有的n位数中，有多少个数中有偶数个数字3？

方法一：
排列组合
n位数中有x个三的情况为：c(n,x)*9^(n-x) 
还要减去首位为0的情况：c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
故为： c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
calc[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)
dp[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x)
dp[n][x]: n位数中有x个三的情况数目 
 

方法二：
递推
 
 
*/ 

/*
算法优化后面再看，先把基础功能实现 
*/
#include <iostream>
#define Max 10 
using namespace std;
int dp[Max];//n位数中有x个三的情况数目
 

//求c(n,x)
int  combination(int n,int x){
    /*
    c(5,3)=(5*4*3)/(3*2*1) 
    */
    int ans=1;
    if(n<x) return 0;
    else if(n==x) return 1;
    else{
        for(int i=n,j=1;j<=x;j++,i--){
            ans=ans*i/j;//这样一定能除尽 
        }
    }
    return ans;
}

//计算c(n,x)*9^(n-x)  
int calcTimes(int n,int x){
    int ans=combination(n,x);
    for(int i=1;i<=n-x;i++){
        ans*=9;
    }
    return ans;
} 

//dp操作，没做初始化，因为全局变量都是0， 
void dpOperation(int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(n==1){//一位数的话，第一位可以是0 
            dp[i]=calcTimes(n,i);
        }
        else if(n>1){
            dp[i]=calcTimes(n,i)-calcTimes(n-1,i);
        }    
    }
    
//    for(int i=1;i<=n;i++){//计算1-n位数的情况 
//        for(int j=0;j<=i;j++){//计算i位数有j个3的情况 
//            
//        } 
//    }
} 

//打印dp数组
void print(int n){
    for(int i=0;i<=n;i++){
        cout<<n<<"位数中有"<<i<<"个3的数目："<<dp[i]<<" "<<endl;
    }
    cout<<endl;
} 

//计算偶数个3
int even3(int n){
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(i%2==0){
            ans+=dp[i];
        }
    }
    return ans;
} 


int main(){
    int n=6;
    //int ans=combination(10,7);
    //int ans=calcTimes(2,2);
    //cout<<ans<<endl;
    dpOperation(n);//dp操作，没做初始化，因为全局变量都是0，
    //cout<<calcTimes(n,0)<<" "<<calcTimes(n-1,0)<<endl;
    print(n);//打印dp数组
    int ans=even3(n);//计算偶数个3
    cout<<n<<"位数中有偶数个3的数目："<<ans<<endl; 
    return 0;
}

 

方法二、递推

/*
位数问题 ：
在所有的n位数中，有多少个数中有偶数个数字3？

方法一：
排列组合
n位数中有x个三的情况为：c(n,x)*9^(n-x) 
还要减去首位为0的情况：c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
故为： c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x) 
calc[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)
dp[n][x]= c(n,x)*9^(n-x)- c(n-1,x)*9^(n-1-x)
dp[n][x]: n位数中有x个三的情况数目 
 

方法二：
递推
这种题目一般都是从i-1位推导第i位，就是看第n位取不取3 

f[i][0]表示前i位取偶数个3有几种情况
f[i][1]表示前i位取奇数个3有几种情况 
则状态转移方程为：
f[i][0]=f[i-1][0]*9+f[i-1][1] 
f[i][1]=f[i-1][1]*9+f[i-1][0] 
边界条件：f[1][1]=1 f[1][0]=9
其实可以看做是取完最后一位取第一位，而0不能做第一位，所以到n的时候，是*8 
 
 
*/ 

/*
算法优化后面再看，先把基础功能实现 
*/
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    int f[1005][2]={0};
    cin>>n;
    f[1][1]=1; 
    f[1][0]=9;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int x=f[1][0];
        if(i==n) x--;//其实可以看做是取完最后一位取第一位，而0不能做第一位，所以到n的时候，是*8 
        f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; 
        f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; 
    } 
    cout<<f[n][0]<<endl;
    return 0;
}