一、全国平均身高

上个月搞了一次人口普查，

说到人口普查，我想问大家一个问题，我们经常会说到中国男性平均身高是多少，中国女性平均身高是多少，那么这个数据他们到底怎么算出来的，（难道中国15亿+人，真的一个一个去量了身高么？）

比如男性女性的身高各自可能都是一个正态分布，比如我们就说男性身高，我们要求男性身高的均值，其实我们就可以看做我们要求男性身高对应的正态分布的μ和σ，这两个参数求出来，正态分布啥样我们就知道了，平均身高就是这个期望μ。

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

那这个咋求呢。

我们可以在人群中随机选择一些男性，比如5000个，来测身高，那么这随机选的5000个人的身高也是符合正态分布的，并且，因为这5000个人的身高可以测出来，所以我们可以画出正态分布曲线，也就是可以得到这5000个样本对应的μ和σ，而总男性身高对应的正态分布的μ和σ可以用这5000个样本的μ和σ近似。

其实，这就是通过样本求参数的过程，也就是极大似然估计的过程。

极大就是最大，似然就是可能性，估计就是估计，所以连在一起就是最大可能性估计，也就是对于参数的最大可能性估计。

所以极大似然估计就是估计参数的一种方法，也就是“模型已定，参数未知”。

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！

极大似然估计中采样需满足一个重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。

二、极大似然估计

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？

我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。

这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的、三十次为黑球事件的概率是P(样本结果|Model)。

如果第一次抽样的结果记为x1,第二次抽样的结果记为x2....那么样本结果为(x1,x2.....,x100)。这样，我们可以得到如下表达式：

P(样本结果|Model)

　　= P(x1,x2,…,x100|Model)

　　= P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M)

　　= p^70(1-p)^30.

好的，我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的p。

那么我们怎么来求这个p呢？

不同的p，直接导致P（样本结果|Model）的不同。

好的，我们的p实际上是有无数多种分布的。如下：

那么求出 p^70(1-p)^30为 7.8 * 10^(-31)

p的分布也可以是如下：

那么也可以求出p^70(1-p)^30为2.95* 10^(-27)

那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？

答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)^30值最大，因为既然事情已经发生了，为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢？这也就是最大似然估计的核心。

那么我们就可以看成是p的方程，求导即可！

我们想办法让观察样本出现的概率最大，转换为数学问题就是使得：

p^70(1-p)^30最大，这太简单了，未知数只有一个p，我们令其导数为0，即可求出p为70%，与我们一开始认为的70%是一致的。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(0,1,1000)
y=x**70*(1-x)**30
plt.plot(x,y)
plt.show()

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/26614750

范仁义

在校每年国奖、每年专业第一，加拿大留学，先后工作于华东师范大学和香港教育大学

概率论疑难问题---6、极大似然估计

概率论疑难问题---6、极大似然估计

一、总结

一句话总结：

极大就是最大，似然就是可能性，估计就是估计，所以连在一起就是最大可能性估计，也就是对于参数的最大可能性估计。

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！

二、极大似然估计

一、全国平均身高

二、极大似然估计

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