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概率论疑难问题---4、通俗理解概率论中的“矩”

概率论疑难问题---4、通俗理解概率论中的“矩”

一、总结

一句话总结：

在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。
比如彩票中奖，5元10%几率，100元0.5%几率，500万0.00001%几率，矩公式可以表示为：$$5 \times 10 \% + 100 \times 0.5 \% + 5000000 \times 0.00001 \% = 1.5 \times 1$$
期望是一阶矩，方差是二阶矩

 

 

二、通俗理解概率论中的“矩”

博客对应课程视频位置：4、通俗理解概率论中的“矩”-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/387

 

 

给我一个支点和一根足够长的棍子，我就可以举起整个地球。

----阿基米德

对比物理的力矩，你会发现，概率论中的“矩”真的是很有启发性的一个词。

1 力矩

大家应该都知道物理中的力矩，我这里也不展开说细节了，用一幅图来帮助大家回忆一下：

 

上图中，两边能保持平衡，只要满足下面的式子就可以了（很粗糙的式子，没把力作为向量来考虑）：
F_1D_1=F_2D_2
其中，F_1D_1,F_2D_2都称为力矩。
可以看出上图的F_1大，F_2小，但由于杆子长度不同，仍然可以取得平衡。
利用上图的原理，我们就可以制作出秤：

 

 

2 概率论中的“矩”

在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。
2.1 彩票的问题
福利彩票，每一注两元钱，真是中国的良心啊，猪肉、房价都涨了多少了！？
每一注的中奖几率如下（胡诌的）：

 

 

画成概率分布大概就是这样的：

 

 

不过，我想你大致不会认为，这花两元钱买的彩票，真的就价值五百万。
我们用概率来组装一把“秤”：

 

 

“秤”摆好了，我们尝试称一下：

 

 

称量实际上是：

 

 

这么少？不是说好了五百万的吗？
没有办法，中奖概率太低了，离秤的中心太近了（对应于力矩而言，就是力臂太短了）。中国有句古话：“二鸟在林不如一鸟在手”，说的真的有道理啊。
把整张彩票都放上去称（秤上的刻度是随便画的，因为相差太悬殊，没有办法按照真是比例来画）：

 

 

具体计算如下：
1.5=5\times10\%+100\times0.5\%+5000000\times0.00001\%
这张彩票原来只值1.5元？血本无归啊！

3 “矩”

学过概率的都知道，我们上面计算的就是期望：
\displaystyle E[X]=\sum_{i}p_{i}x_{i}
其实这就是“矩”：

 

 

因为x是一次幂，所以也称为“一阶矩”。
再比如方差：
\displaystyle Var(X)=E\left[(X-\mu)^2\right]=\sum_{i}p_{i}(x_{i}-\mu)^2
其中的距离(X-\mu)^2也需要称量之后才能使用，所以方差也称为“二阶矩”。
“三阶矩”、“四阶矩”、“高阶矩”，各有用途，但是共同的特点就是称量之后才能使用。

 

资料来源：https://www.matongxue.com/madocs/412/

 

系列课程视频位置：

1、全概率公式和贝叶斯公式-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/382

2、通俗理解泊松分布-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/385

3、通俗理解协方差与相关系数-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/386

4、通俗理解概率论中的“矩”-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/387

5、通俗理解中心极限定理-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/388

6、极大似然估计-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/389

7、通俗理解最小二乘法-范仁义-读书编程笔记
https://www.fanrenyi.com/video/45/390

 
 
posted @ 2020-11-11 22:33  范仁义  阅读(956)  评论(0)  编辑  收藏  举报