宋浩《概率论与数理统计》笔记---2.3.2、连续型随机变量函数的分布

宋浩《概率论与数理统计》笔记---2.3.2、连续型随机变量函数的分布

一、总结

一句话总结：

设X的f_X(x)，y=g(x)，Y=g(X)

第一步：F_Y(x)=F_X(x)，两边对x求导

第二步：f_Y(x)=f_X(x)，

 

1、分布函数F(x)和概率密度函数f(x)的关系？

分布函数求导是概率密度函数

概率密度函数积分是分布函数：概率密度函数积分是求面积，那么自然结果是分布函数

 

2、连续型随机变量函数的分布 的求法？

设随机变量X的密度函数为f_X(x)，并假设y=g(x)及其一阶导数是连续函数，则Y=g(X)是连续型随机变量，现在来求Y的密度函数f_Y(x)

第一步：建立随机变量Y的分布函数F_Y(x)与X的分布函数F_X(x)之间的关系，或者求出随机变量Y的分布函数F_Y(x)

第二步：对F_Y(x)求导便得f_Y(x)

 

 

3、连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量X的密度函数为f_X(x)，Y=3X+2，求Y的密度函数f_Y(x)？

1、建立随机变量Y的分布函数F_Y(x)与X的分布函数F_X(x)之间的关系：F_Y(x)=P{Y<=x}=P{3X+2<=x}=P{X<=(x-2)/3}=F_X((x-2)/3)

2、两边求导：f_Y(x)=1/3*f_X((x-2)/3)

3、如果知道f_X(x)，直接将它替换成f_Y(x)即可：f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)，那么对应的f_X(x)=1/3*1/4，(0<=(x-2)/3<=4)

 

 

4、连续型随机变量函数的分布 实例的直观理解？

x的密度函数是均匀分布，f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)，Y=3X+2，求Y的密度函数f_Y(x)

就是把f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)里面的x用Y=3X+2换成y就好了，特别简单

 

5、随机变量分布函数F_Y(x)和F_X(x)？

F_X(x)=P{X<=x}

F_Y(x)=P{Y<=x}

 

6、F_Y(x)=P{Y<=x}中为什么不能写成F_Y(x)=P{Y<=y}？

因为现在用一维的表示一维的，还是一维，所以变量只有一个x

 

 

7、连续型随机变量函数的分布 求解本质，比如Y=3X+2？

其实就是原分布的求导过程，你仔细看求解过程就领悟了

1、建立随机变量Y的分布函数F_Y(x)与X的分布函数F_X(x)之间的关系：F_Y(x)=P{Y<=x}=P{3X+2<=x}=P{X<=(x-2)/3}=F_X((x-2)/3)

2、两边求导：f_Y(x)=1/3*f_X((x-2)/3)

这里是均匀分布，就对均匀分布求导，如果是正态分布，就对正态分布求导

 

8、线性和非线性？

线性：2x+3y; x1+x2-x3; x+8y+17z+5

非线性：y=x^2; sinx; 1/y; lnz; tan(x^2+1)

 

 

二、内容在总结中

博客对应课程的视频位置：