♔Renascence_5

摘要： $$\Large\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ( 1)^n \frac{H_n}{2n+1}=\mathbf{G} \frac{\pi}{2}\ln(2)$$ $\Large\mathbf{Proof:}$ $\Large\mathbf{Method~One:}$ 阅读全文

摘要： $$\Large\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F_{2n+1}+1}=\frac{\sqrt5}{2}$$ $\Large\mathbf{Proof:}$ Let $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ denote the go 阅读全文

摘要： $$\Large\int_0^{\large \frac{\pi}{2}} \ln^2\left(\tan\frac{x}{2}\right){ _3F_2}\left(\frac12,1,1;\frac32,\frac32;\sin^2 x \right)\mathrm{d}x = \frac{5 阅读全文

摘要： $$\Large\int_{0}^{z}x^{t}\ln\Gamma \left ( 1+x \right )\mathrm{d}x~,~z 0\, ,\, t\in N^{ }$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Notice that $$\begin{align } \i 阅读全文

摘要： $$\Large\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2^{2k 1} 2)(4^{2k+1} 3^{2k+1})}{144^k\,k\,(2k+1)}\zeta(2k)$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Within the interval $\displa 阅读全文

摘要： $$\Large\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}}{n^{2}}=\frac{19}{24}\zeta(6)+\zeta^{2}(3)$$ $\Large\mathbf{Proof:}$ We use the Abel's r 阅读全文

摘要： $$\Large\sum_{n=0}^\infty \frac{H_{2n+1}}{(2n+1)^2}=\frac{21}{16}\zeta(3)$$ $\Large\mathbf{Proof:}$ Let $\displaystyle S_1=\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n 阅读全文

摘要： $$\Large\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\sqrt{1 x^{2}}}\mathrm{d}x$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ 首先第一种做法，含参积分.不多说直接上图 第二种方法则是利用级数，易知 $$\begin{align } \int 阅读全文

摘要： $$\Large\int_{0}^{\pi }\theta \ln\tan\frac{\theta }{2}\mathrm{d}\theta $$ $\Large\mathbf{Solution:}$ 显然 $$\int_{0}^{\pi }\theta \ln\tan\frac{\theta }{ 阅读全文

摘要： 1.Table of Integrals,Series and Products , Eighth Edition , I.S.Gradshteyn, I.M.Ryzhik 这就是众所周知的"积分大典"，也是最新版，包含了巨量的积分公式，绝对是值得拥有的，遗憾的是只有公式，没有证明，当然，在书的开头 阅读全文

摘要： $$\Large\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{2^nn^4}$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Let $$\mathcal{S}=\sum^\infty_{n=1}\frac{H_n}{n^42^n}$$ We first conside 阅读全文

摘要： $$\Large\int_{0}^{1}\frac{\ln^{2}\left ( x \right )\mathrm{Li}_{2}\left ( x \right )}{1 x}\mathrm{d}x= 11\zeta \left ( 5 \right )+6\zeta \left ( 3 \ri 阅读全文

摘要： $$\Large\int_0^1\frac{\ln^3(1+x)\ln x}x\mathrm dx$$ $\Large\mathbf{Solution:}$ Start with integration by parts (IBP) by setting $u=\ln^3(1+x)$ and $\m 阅读全文

摘要： $$\Large\int_0^1\frac{\arctan x \,\operatorname{arctanh} x\, \ln x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi^2}{16}\mathbf{G} \frac{7\pi}{32}\zeta(3)$$ $\Large \mathrm 阅读全文

摘要： 首先我们定义 $$\begin{align } { \Large {L\left[ \begin{matrix} a,b,c \\ d,e,f \end{matrix};z\right] =\int_0^z \frac{\ln^a x \ln^b(1 x)\ln^c(1+x)}{x^d (1 x)^ 阅读全文