CF1264E. Beautiful League
【题目链接】https://codeforces.com/contest/1264/problem/E
【题解】
考虑三元环的数量如何计算。
由于是完全有向图（即竞赛图），分别考虑每三个点会不会构成三元环。
不难发现，三个点若不构成三元环一定存在且仅存在一个点出度为 $2$（入度同理）。
因此考虑计算不构成三元环的三个点数量，即 $\sum_{i=1}^{n} C_{deg_i}^{2}$（其中 $deg_i$ 为出度/入度）。
因此总三元环个数为 $C_{n}^{3}-\sum_{i=1}^{n} C_{deg_i}^{2}$。
考虑给每条边定向会对三元环个数造成什么影响。
显然定向会使其中一个点的度数增加。
根据公式 $C_{k+1}^{2}-C_{k}^{2}=k$，定向会使答案减少点的度数个三元环。
我们考虑本题的限制：每条边都一定要定向，不同方向会造成不同贡献，要求贡献最小（即三元环个数最大）。
这是一个最小费用最大流的模型。考虑如何建图。
首先 $S$ 向每条边代表的点连边，流量为 $1$，费用为 $0$，表示必须选择。
其次每条边代表的点向边的两端点连边，流量为 $1$，表示两个方向需要选择一个方向。
考虑费用如何计算。注意到当度数增加时，边的贡献也会改变。但任意时刻连向同一个点的边贡献相同。
考虑经典做法——拆点。将每个点拆成两个，分别连流量为 $1$，费用为 $deg_i,deg_i+1,deg_i+2,...$ 的边即可。
同时拆完后的后面的点往 $T$ 连流量为 $n$（其实并不会到 $n$，最多到 $n-deg_i-1$，上方拆点间连边同理），费用为 $0$ 的边。
同时上述边向点连边的费用为 $0$。建图跑最小费用最大流即可。
输出方案同一般费用流，判断满流情况。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const int inf=1<<30; 3 const int maxn=100000; 4 const int maxm=500000; 5 struct Flow 6 { 7 int n,h[maxn],cnt=1,S,T,dis[maxn],fr[maxn]; 8 bool vis[maxn]; 9 struct edge { int v,nxt,f,w; } e[maxm]; 10 inline void addedge ( int u,int v,int f,int w ) 11 { 12 e[++cnt].nxt=h[u];e[h[u]=cnt].v=v;e[cnt].f=f;e[cnt].w=w; 13 e[++cnt].nxt=h[v];e[h[v]=cnt].v=u;e[cnt].f=0;e[cnt].w=-w; 14 } 15 inline bool spfa_min ( void ) 16 { 17 for ( int i=1;i<=n;i++ ) vis[i]=false,fr[i]=0,dis[i]=inf; 18 std::queue<int> q;dis[S]=0;q.push(S);vis[S]=true; 19 while ( !q.empty() ) 20 { 21 int u=q.front();q.pop();vis[u]=false; 22 for ( int i=h[u];i;i=e[i].nxt ) if ( e[i].f and dis[e[i].v]>dis[u]+e[i].w ) 23 { 24 dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w;fr[e[i].v]=i; 25 if ( !vis[e[i].v] ) q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=true; 26 } 27 } 28 return dis[T]!=inf; 29 } 30 inline int mincost ( void ) 31 { 32 int ans=0; 33 while ( spfa_min() ) 34 { 35 int flow=inf; 36 for ( int i=T;i!=S;i=e[fr[i]^1].v ) flow=std::min(flow,e[fr[i]].f); 37 ans+=dis[T]*flow; 38 for ( int i=T;i!=S;i=e[fr[i]^1].v ) e[fr[i]].f-=flow,e[fr[i]^1].f+=flow; 39 } 40 return ans; 41 } 42 } Gmin; 43 int n,m,N,G[200][200],ans[200][200],d[200]; 44 signed main() 45 { 46 scanf("%d%d",&n,&m); 47 for ( int i=1,u,v;i<=m;i++ ) scanf("%d%d",&u,&v),d[u]++,ans[u][v]=1,G[u][v]=G[v][u]=-1; 48 N=n<<1;Gmin.S=++N;Gmin.T=++N; 49 for ( int i=1;i<n;i++ ) for ( int j=i+1;j<=n;j++ ) if ( ~G[i][j] ) 50 { 51 G[i][j]=G[j][i]=++N; 52 Gmin.addedge(Gmin.S,G[i][j],1,0); 53 Gmin.addedge(G[i][j],i,1,0); 54 Gmin.addedge(G[i][j],j,1,0); 55 } 56 int Ans=n*(n-1)*(n-2)/6; 57 for ( int i=1;i<=n;i++ ) 58 { 59 Ans-=d[i]*(d[i]-1)/2; 60 for ( int j=1;j<=n;j++ ) Gmin.addedge(i,i+n,1,d[i]+j-1); 61 } 62 for ( int i=1;i<=n;i++ ) Gmin.addedge(i+n,Gmin.T,n,0); 63 Gmin.n=N;Gmin.mincost(); 64 for ( int i=1;i<n;i++ ) for ( int j=i+1;j<=n;j++ ) if ( ~G[i][j] ) 65 for ( int k=Gmin.h[G[i][j]];k;k=Gmin.e[k].nxt ) if ( Gmin.e[k].v!=Gmin.S and !Gmin.e[k].f ) ans[Gmin.e[k].v][i+j-Gmin.e[k].v]=true; 66 for ( int i=1;i<=n;i++,puts("") ) for ( int j=1;j<=n;j++ ) putchar(ans[i][j]?'1':'0'); 67 return 0; 68 }
官方题解&$std$ 在此做法的基础上使用了更复杂的算法，类似模拟费用流的贪心。由于作者水平有限，并不会这种做法。具体请参见：https://codeforces.com/blog/entry/71995。
