loj548 「LibreOJ β Round #7」某少女附中的体育课

这道题好神啊！！！

发现这题就是定义了一种新的卷积，然后做k+1次卷积。

这里我们就考虑构造一个变换T，使得$T(a) \cdot T(b) =T(a∘b)$，这里是让向量右乘这个转移矩阵。

于是我们可以得到

$$\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}  \sum{[k ∘ l =j] a_{k} b_{l}}  }   = (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}a_{j}}) \cdot  (\sum_{j=0}^{m-1}{T_{j,i}b_{j}})$$

$$\sum{T_{k∘l,i}{a_{k}b_{l}}}= \sum{T_{k,i}T_{l,i}a_{k} b_{l}}$$

设x为T的某一列向量，这个变换满足的条件就是$x_{j}x_{k}=x_{j∘k}$

又因为循环律，设$c_{i}$为$i$的周期长度，我们发现$x_{i^{c_{i}}}=x_{i}^{c_{i}}=x_{i}$，所以$x_{i}=w_{c_{i}}^{k} or 0$。

之后我们发现合法的情况只有n种，考虑暴搜变换然后加上上面那个减枝就可以了。

然后我们就得到了我们要求的变换，然后就像fwt一样每一维依次进行变换就可以了。

正解依旧没有看懂，我的理解就是按照$x^{0}$分成若干个等价类，对于每个等价类内dft构造出一个其中若干个变换，然后在将每个小变换扩展全部，但是具体的怎么dft以及如何扩展的我还不是特别明白，所以先挖个大坑吧。其实我觉得这种需要构造变换的题暴搜都是可以碾压正解的，因为暴搜加减枝的复杂度真的很优秀。

最后，LCA太神啦！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define mod 232792561
#define N 500500
#define M 25
using namespace std;
int rt=71,n,m,all,f[N],tmp[N];
int A[M][M],a[M],cnt[M],tot,w[M][M],C[M][M],D[M][M];
long long K;
int qp(int a,int b){
    int c=1;
    for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
        if(b&1)c=1ll*c*a%mod;
    return c;
}
void UPD(int &a,int b){
    a=(a+b>=mod)?(a+b-mod):(a+b);
}
bool can(int x){
    for(int i=0;i<=x;i++)
        for(int j=0;j<=x;j++)
            if(A[i][j]<=x&&1ll*a[i]*a[j]%mod!=a[A[i][j]])return 0;
    return 1;
}
void dfs(int x){
    if(tot==m)return ;
    if(x==m){
        bool flag=0;
        for(int i=0;i<m;i++)if(a[i])
            {flag=1;break;}
        if(!flag)return ;
        for(int i=0;i<m;i++)C[i][tot]=a[i];
        tot++;
        return ;
    }
    for(int i=0;i<=cnt[x];i++){
        a[x]=w[cnt[x]][i];
        if(can(x))dfs(x+1);
    }
}
void getni(){
    for(int i=0;i<m;i++)D[i][i]=1;
    for(int k=0;k<m;k++){
        if(!C[k][k]){
            for(int i=k+1;i<m;i++)if(C[i][k]){
                for(int j=0;j<m;j++){
                    swap(C[k][j],C[i][j]);
                    swap(D[k][j],D[i][j]);
                }
            }
        }
        int inv=qp(C[k][k],mod-2);
        for(int i=0;i<m;i++){
            C[k][i]=1ll*C[k][i]*inv%mod;
            D[k][i]=1ll*D[k][i]*inv%mod;
        }
        for(int i=0;i<m;i++)if(i!=k&&C[i][k]){
            int t=C[i][k];
            for(int j=0;j<m;j++){
                UPD(C[i][j],mod-1ll*t*C[k][j]%mod);
                UPD(D[i][j],mod-1ll*t*D[k][j]%mod);
            }
        }
    }
}
void dft(int n,int *f,int C[M][M]){
    if(n==1)return ;
    int l=n/m;
    for(int i=0;i<m;i++)dft(l,f+i*l,C);
    for(int i=0;i<n;i++)tmp[i]=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=0;k<l;k++)
                UPD(tmp[j*l+k],1ll*f[i*l+k]*C[i][j]%mod);
    for(int i=0;i<n;i++)
        f[i]=tmp[i];
}
int main(){
//freopen("test.in","r",stdin);
    for(int i=1,now;i<=22;i++){
        w[i][0]=1;
        now=qp(rt,(mod-1)/i);
        for(int j=1;j<i;j++)
            w[i][j]=1ll*w[i][j-1]*now%mod;
    }
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&K);
    K=(K+1)%(mod-1);
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            scanf("%d",&A[i][j]);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int now=i;
        do{
            cnt[i]++;
            now=A[now][i];
        }while(now!=i);
    }
    dfs(0);
    all=qp(m,n);
    for(int i=0;i<all;i++)scanf("%d",&f[i]);
    dft(all,f,C);
    for(int i=0;i<all;i++)f[i]=qp(f[i],K);
    getni();
    dft(all,f,D);
    for(int i=0;i<all;i++)printf("%d\n",f[i]);
    return 0;
}