bzoj1478 Sgu282 Isomorphism

这道题也是一道不错的找规律polya原理的题

我们可以发现，对于两种点的置换，如果他们的循环节完全一样，那么他们对于边的置换的循环也完全一样。

我们又会发现，当一条边两侧的点位于同一循环中时，这些边构成的循环节共有${\frac{L_{i}}{2}}$个，$L_{i}$表示点的循环节长度

当两点位于两个循环中时，这些变构成的循环节共有$gcd(L_{i},L_{j})$个。

然后我们需要算出每种点的置换的方案数，这个写着不方便，看代码吧

于是我们可以dfs出每种点的置换，然后求出对应边的置换的循环节数以及方案数，最后上polya就好了！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,mod;
int qp(int a,int b){
    int c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=c*a%mod;
        a=a*a%mod; b>>=1;
    }return c;
}
int l[66],C[66][66],fac[66],ny[66],g[66][66];
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int all,cnt,sum,ans;
void dfs(int x,int last,int num){
    if(x==n+1){
        sum=0;
        for(int i=1;i<=num;i++)sum+=l[i]/2;
        for(int i=1;i<=num;i++)
            for(int j=i+1;j<=num;j++)sum+=g[l[i]][l[j]];
        cnt=1;
        for(int i=1,rest=n,j;i<=num;i++){
            j=i;
            while(j<=num&&l[j]==l[i]){
                (cnt*=C[rest][l[j]]*fac[l[j]-1]%mod)%=mod;
                rest-=l[j];j++;
            }
            (cnt*=ny[j-i])%=mod;
            i=j-1;
             
        }
        (all+=cnt)%=mod;
        (ans+=cnt*qp(m,sum)%mod)%=mod;
        return ;
    }
    for(int i=last;x+i<=n+1;i++){
        l[num+1]=i;
        dfs(x+i,i,num+1);
    }
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&mod);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=i*fac[i-1]%mod;
        ny[i]=qp(fac[i],mod-2);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)g[i][j]=g[j][i]=gcd(i,j);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    dfs(1,1,0);
    ans=(ans*qp(all,mod-2))%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}