【题解】Acwing 89 a ^ b

a ^ b

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求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

输入格式

三个整数 a,b,p ,在同一行用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示a^b mod p的值。

数据范围

0≤a,b,p≤109
数据保证 p≠0

输入样例：

3 2 7

输出样例：

2

思路说明：

快速幂。

若采用a个b一个个相乘取模的方式来做，它的算法复杂度为O(n)

而因为

1. 一位一位的二进制组合可以表示所有的数，即所有数都可以表示为\(2^0\)+\(2^1\)+...+\(2^n\)
2. a * b mod p = (a mod p) * (b mod p) mod p (咕咕咕，可能之后会在后面补上这数学证明)

所以我们可以把b用一位一位二进制来表示即可把时间复杂度降为O(\(log_2b\))

代码展示：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull;
ll a, b, p;

inline int qpm(ll a, ll b, ll p) {
    ll ans = 1 % p, t = a % p; // 若没有一开始ans % p 若遇到 0 0 1
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * t % p; // b & 1 为 true 即 b转成二进制第一位是 1
        t = t * t % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    printf("%lld\n", qpm(a, b, p));
    return 0;
}