算法第二章上机实践报告

7-3 两个有序序列的中位数 (20 分)

已知有两个等长的非降序序列S1, S2, 设计函数求S1与S2并集的中位数。有序序列,的中位数指A​(N−1)/2​​的值,即第⌊(N+1)/2⌋个数（A​0​​为第1个数）。

输入格式:

输入分三行。第一行给出序列的公共长度N（0<N≤100000），随后每行输入一个序列的信息，即N个非降序排列的整数。数字用空格间隔。

输出格式:

在一行中输出两个输入序列的并集序列的中位数。

输入样例1:

5
1 3 5 7 9
2 3 4 5 6

输出样例1:

4

输入样例2:

6
-100 -10 1 1 1 1
-50 0 2 3 4 5

输出样例2:

1


题意：把两个数组按非递减的顺序合起来后求中位数。

解题思路（算法描述）：因为两个数组本身有序，可对两个数组进行二分。
我们不断维护两个数组的二分区间la,ra和lb,rb，保证两个区间中元素个数相同
定义：
第一个数组名为a， ai表示数组第i个元素， 第二个数组名为b， bi表示数组第i个元素
ma=(la+ra)/2, mb=(lb+rb)/2
根据定义，可以知道当l到r之间的元素为奇数个时ma + mb = n + 1 
当l到r之间的元素为偶数个时ma + mb = n

1.二分的时候遇到a[ma] == b[mb]的时候
若l到r元素个数为偶数  ma + mb = n 
我们把a[1]到a[ma],b[1]到b[mb]的元素拼起来，共n个元素，其中第n个元素就是问题答案
因为原数组有序，所以a[ma]和b[mb]肯定是该数组最大的数，而a[ma+1]和b[mb+1]都是大于等于新数组的所以元素，故无需考虑ma，mb之后的数了
若l到r元素个数为奇数 ma + mb = n + 1
同上，a[ma]和b[mb]必为答案

2.二分的时候遇到a[ma] > b[mb]的时候
因为a[ma+1] >= a[ma] > b[mb]
比a[ma+1]小的元素肯定大于等于n个
所以数组a的区间ma+1到r的元素不用考虑了
所以ra = ma,la = mb，调整二分区间，然后继续二分，b[mb] > a[ma]同理
注意让两个区间的个数相等

参考代码：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int a[100010],b[100010],n;
int find(int la,int ra,int lb,int rb)
{
    if (la == ra) {
        if (a[la] == b[lb]) return a[la];
        else return a[la] > b[lb] ? b[lb] : a[la];
    }
    int ma = la + ra >> 1;
    int mb = lb + rb >> 1;
    if (a[ma] == b[mb]) return a[ma];
    else if (a[ma] > b[mb]) {
        ra = ma;
        lb = mb;
        if(ra - la != rb - lb) lb++;
        return find(la,ra,lb,rb);
    }
    else {
        rb = mb;
        la = ma;
        if(ra - la != rb - lb) la++;
        return find(la,ra,lb,rb);
    }
}
int main()
{

    ios::sync_with_stdio(0);
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; ++i) cin >> a[i];
    for(int i=1; i<=n; ++i) cin >> b[i];
    a[0] = b[0] = -199999999;
    cout << find(1,n,1,n);
    return 0;
} 

 

算法分析：
　　时间复杂度：数组长度为n，所以二分的时间复杂度是O（logn），输入数据的时间复杂度是O（n），所以算法时间复杂度是O（logn）（强行口胡）
　　空间复杂度：只开了4个变量，显然O（1）
　　　　　　　　
心得体会：
　　写二分一定要思路清晰，不然很容易出问题，要知道l，r该怎么移动，为什么这样移动。