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普林斯顿

函数

二元一次方程

\( 平方差公式 :(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ 立方差公式: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ 完全平方公式:(a\pm b)^{2}=a^2\pm2ab+b^2\\ \)
\( 运算法则: a^m+a^n=a^{m-n}; a^{-p}=\frac {1}{a^p} \)

因式分解

\( 提公因式法: x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)\\ 应用公式法: a^2+4ab+4b2=(a+2b)^2\\ 分组分解法: m^2+5n-mn-5m=(m^2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)\\ 十字相乘法: 7x^2 -19x-6,\\ 分析 :1 ×7=7, 2×(-3)= -6 1×2+7×(-3)=-19\\ 解:7x^2 -19x-6=(7x+2)(x-3) \)

反函数与复合函数

\(对每个y\in f(D),有唯一的x\in D,使得f(x)=y,于是有 f^{-1}(y)=x\)
直线方程的点斜式
\( 如果已知直线通过点(x_0,y_0),斜率为m,则y-y_0=m(x-x_0)\\ 如果一条直线通过点(x_1,y_1)和(x_2,y_2),则它的斜率等于\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

三角函数

||0 | \(\frac π6\) |\(\frac π4\) | \(\frac π3\) |\(\frac π2\)|
|- |-|-|-|-|-|-|
|sin|0|\(\frac 12\)|\(\frac1{\sqrt{2}}\)|\(\frac {\sqrt3}{2}\)|\(1\)|
|cos|1|\(\frac{\sqrt3}2\)|\(\frac1{\sqrt2}\)|\(\frac12\)|0|
|tan|0|\(\frac1{\sqrt3}\)|1|\(\sqrt3\)|\(\bigstar\)|

cos(x)和sec(x)都是偶函数

三角恒等式:

\(tan(x)=\frac {sin(x)} {cos(x)} cot(x)=\frac{cos(x)}{sin(x)} \\ 1+tan^2(x)=sec^2(x)\\ cot^2(x)+1=csc^2(x)\\ sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)\\ cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)\\ sin(2x)=2sin(x)cos(x)\\ cos(2x)=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x) \)

求多项式的极限

\(x \rightarrow a平方根的极限\)

a-b的共轭表达式a+b

\[\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{ \sqrt [2]{x^2-9} -4}{x-5} =\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{ \sqrt [2]{x^2-9} -4}{x-5} \times \frac{\sqrt{x^2-9}+4}{\sqrt{x^2-9}+4} \]

使用公式
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2,分子可化简为(\sqrt{x^2-9})^2-4^2即x^2-25\)

\[\lim\limits_{x\rightarrow5} \frac{x^2-25}{(x-5)(\sqrt{x^2-9}+4)}=5/4 \]

\(x\rightarrow\infty 时的有理函数的极限\)

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{2x+3}{x^2-7}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{2x+3}{2x}\times (2x)}{\frac{x^2-7}{x^2} \times (x^2)}= \lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\frac{1+\frac{3}{2x}}{1-\frac{7}{x^2}})\times \frac{2x}{x^2}= \frac{1+0}{1-0}\times \lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac2x=0\\ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac {p(x)}{q(x)}\\ \]

\( (1)如果p的次数等于q的次数,则极限是有限的且非零\\ (2)如果p的次数大于q的次数,则极限是\infty或 -\infty\\ (3)如果p的次数小于q的次数,则极限是0 \)

\(x\rightarrow \infty 时的多项式型函数的极限\)

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\sqrt{16x^4+8}+3x }{2x^2+6x+1}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \frac{\frac{\sqrt{16x^4+8}+3x}{4x^2}\times(4x^2)}{{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}}\times(2x^2)} \\ =\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{\frac{16x^4+8}{16x^4}}+\frac{3x}{4x^2}}{\frac{2x^2+6x+1}{2x^2}} \times\frac{4x^2}{2x^2}= \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{8}{16x^4}}+\frac{3}{4x}}{1+\frac{6}{2x}+\frac{1}{2x^2}}\times \frac{4}{2}\\ =\frac{\sqrt{1+0}+0}{1+0+0}\times2=2 \]

\[\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}} =\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3}{\sqrt[3]{27x^6+8x}}\times\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}=\\ \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{-5x^5}{(\frac{\sqrt[3]{27x^6+8x}}{\sqrt[3]{27x^6}}\times(3x^2))((\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{4x^3})\times(4x^3))}\\ 把-5x^5,3x^2和4^3都提出来,得到 \lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{(\frac{\sqrt[3]{27x^6+8x}}{\sqrt[3]{27x^6}})(\frac{\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3}{4x^3})}\times\frac{-5x^5}{(3x^2)(4x^3)}=\\ \frac{1}{(\sqrt[3]{1+\frac{8}{27x^5}})(\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{5}{16x}}+\frac12)}\times\frac{-5x^5}{(3x^2)(4x^3)}=-\frac{5}{12} \]

\(x \rightarrow-\infty的有理函数的极限\)

\( 由于xx\rightarrow-\infty,也就是2x^3是负的的,但是\sqrt{4x^6}是正的,所以必须将\sqrt{4x^6}化简为-2x^3 如果x<0,并且想写 \sqrt[n]{x^{某次幂}}=x^m,那么需要在x^m之前加一个负号的唯一情形是,n是偶的而m是奇的。\\ 包含绝对值的函数的极限\\ \lim\limits_{x\rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}=-1 \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}=1 故双侧极限不存在 \)

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