插值

插值法定义

设函数在区间上有定义，且

已知在点的值
若存在一简单函数使得

成立，就称为的插值函数，点称为插值区间，上式称为插值条件，求插值函数的方法称为插值法。
若为次数不超过的代数多项式，即

其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若为分段多项式，就是分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。

插值多项式的存在唯一性

设是形如(2)的插值多项式，用表示所有次数不超过的多项式集合，于是。所谓插值多项式存在且唯一就是指在集合中有且只有一个满足插值条件：

由插值条件可得：

这是一个关于的元线性方程组
要证明插值多项式的存在唯一性，只要证明上述方程组存在唯一解，也就是证明方程组的系数行列式的值不为零。
其系数行列式为：

式子中称为行列式。
利用行列式的性质可得，由于时，，因为定义这些点不重合，故所有因子，于是，故方程组存在唯一的一组解。

拉格朗日多项式

求次多项式，使得：

条件：无重合节点，即
已知，求使得
可见是过点和两点的直线。

称为拉式基函数，满足条件
希望找到使得；然后令，则显然有。每个有个零点,所以:

插值余项

设节点,且满足条件,在内存在, 考察截断误差
至少有个零点, 由此推出
任意固定, 考察
此时有个不同的零点 (这里对t求导), 于是有

化简后: