平面二次曲线小记

二次曲线参数化

咱们以椭圆为例。熟知椭圆标准方程：

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

选取其左顶点 \(A(-a, 0)\)，过该点作一直线，其斜率为 \(t\)，与该椭圆交于另一点 \(B(x, y)\)，即：

\[\begin{align*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} & = 1\\ t(x + a) & = y\\ \end{align*} \]

即得：

\[\begin{align*} x & = \frac{-a^2t^2 + b^2}{at^2 + \frac{b^2}{a}}\\ y & = \frac{2b^2t}{at^2 + \frac{b^2}{a}}\\ \end{align*} \]

此即其参数方程，当 \(t \rightarrow \infty\)，\((x, y) \rightarrow A(-a, 0)\)。

对称的多项式

一般来说，如果咱们有一个多项式 \(F(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n)\)，满足：

\[F(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n) = F(x_{\sigma_1}, x_{\sigma_2}, x_{\sigma_3}, \cdots, x_{\sigma_n}) \]

其中，\(\sigma\) 为一个 \(1, 2, 3, \cdots, n\) 的排列，则称多项式 \(F\) 具有 置换对称性。对于一个单项式：

\[F(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n) = C_0 \prod_{i = 1}^n x_i^{\alpha_i} \]

其具有置换对称性的充要条件为 \(\alpha_i\) 均相等。将其推广至多项式情况：首先，若多项式 \(F\) 具有置换对称性，则组成其的任何一项单项式都具有置换对称性；其次，考虑 \(F\) 的任何一个形如 \(C (\prod_{i = 1}^k x_{a_i})^{\alpha}\) 的一项，对 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 的任何一个置换 \(\sigma\)，\(C (\prod_{i = 1}^k x_{\sigma_i})^{\alpha}\) 都必须为 \(F\) 中的一项。综上：\(F\) 具有置换对称性的充要条件为：其任意一项单项式都为若干个指数相等的变量之积，且若选定数 \(k\) 与 \(p\)，则 \(F\) 中所有满足可以写成 \(C (\prod_{i = 1}^k x_{a_i})^p\) 的项的系数均相等且所有的 \(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_k\) 刚好组成了所有大小为 \(k\) 的 \(\{1, 2, 3, \cdots, n\}\) 的子集。

一些代数处理

对于 \(x, y\)，若其满足方程：

\[Axy + B(x + y) + C = 0 \]

则称其为 对合方程。其左式为一个二元二次对称多项式，意味着做变换 \((x, y) \rightarrow (y, x)\) 后其依然满足方程。假使咱们定义一个函数 \(\phi\)，使得对于该对合方程的任意一组解 \((x, y)\) 都有 \(y = \phi(x)\)，则由对称性知 \(x = \phi(y)\) 即 \(x = \phi^2(x)\)。咱们整理对合方程即可得到 \(\phi(x) = \frac{-Bx - C}{Ax + B}\)，即一个 分式线性函数，则咱们定义 对合函数 \(\phi\) 为一个满足 \(\phi^2 = I\)（\(I\) 为单位映射）的分式线性函数。