「Geometry of Conics」读书笔记

英文书籍，对我这种纯正中国人十分不友好，咬着牙啃下去了。不想看英文书又找不到中译本的有福了。

Chapter 1 - Elementary Properties of Curves of Second Degree

\(\qquad\) 如题，都是二次曲线的简单性质和几个等价定义。在下文中，我们称一个二次曲线“退化”表示它变成了两条直线或一条直线或一个点。

朴素定义

\(\qquad\) 各位在中学课本上学过的定义：到两点的距离和 / 差为定值之类……

光学性质

\(\mathbf{Theorem\ 1.1.}\) 如下图，\(l\) 为椭圆 \(C\) 在 \(P\) 点的切线，图中标出的两角（ \(\angle F_1PX\) 与 \(\angle F_1Pl\) ）是相等的。

\(\mathbf{Proof.}\) \(F_1X + F_2X > F_1P + F_2P\)，所以光从 \(F_1\) 射向 \(P\) 后沿 \(PF_2\) 方向射出（费马原理）。

\(\qquad\) 抛物线与双曲线的情形如下图，与椭圆类似，结论的证明留作习题（注：考虑反证法，辅助线已画出）。

\(\mathbf{Theorem\ 1.2.}\) 如下图，\(F_1\) 和 \(F_2\) 为椭圆 \(C\) 的焦点，\(PQ\) 为过点 \(F_1\) 的椭圆 \(C\) 的弦，分别在 \(P, Q\) 点处的 \(C\) 的切线交于一点 \(R\)，则 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心，且 \(PQ \perp F_1R\)。

\(\mathbf{Proof.}\) 由光学性质可知 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的两外角（ \(\angle F_2PQ\) 和 \(\angle F_2QP\) 的补角 ）的角平分线的交点，则 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心。过点 \(R\) 分别做 \(RF_1' \perp PQ, RX \perp F_2P, RY \perp F_2Q\)，垂足分别为 \(F_1', X, Y\)。
\(\qquad\) 则 \(PX = PF_1', QY = QF_1'\)，故 \(F_2X = F_2P + PX = F_2P + F_1'P, F_2Y = F_2Q + QY = F_2Q + F_1'Q\)，又知 \(R\) 为 \(\triangle F_2PQ\) 的旁心，故 \(F_2X = F_2Y\) 即 \(F_2P + F_1'P = F_2Q + F_1'Q\)，而 \(F_2P + F_1'P + F_2Q + F_1'Q = 4a\)，则 \(F_2P + F_1'P = F_2Q + F_1'Q = 2a\) 即 \(F_1'\) 与 \(F_1\) 重合。

\(\qquad\) 对双曲线而言，\(\mathrm{Theorem\ 1.2}\) 中的旁心改成内心后仍成立。

等角共轭

\(\mathbf{Theorem\ 1.3.}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，则 \(\angle F_1PX = \angle F_2PY\)。

\(\mathbf{Proof.}\) 做 \(F_1\) 关于 \(PX\) 的对称点 \(F_1'\) 与 \(F_2\) 关于 \(PY\) 的对称点 \(F_2'\)，连接 \(XF_1, XF_2, XF_1', YF_1, YF_2, YF_2'\)。
\(\qquad\) 由光学性质和对称的性质可知：\(\angle F_2XP = \pi - \angle F_1XP = \pi - \angle F_1'XP\) 即 \(\angle F_2XP + \angle F_1'XP = \pi\)，故 \(F_2, X, F_1'\) 共线，同理 \(F_1, Y, F_2'\) 共线。\(F_1'F_2 = F_1'X + F_2X = F_1X + F_2X = 2a\)，同理 \(F_1F_2' = 2a\)，则 \(F_1'F_2 = F_1F_2'\)。又因为 \(F_1P = F_1'P, F_2P = F_2'P\)，故 \(\triangle PF_1'F_2 \cong \triangle PF_1F_2'\)，则 \(\angle F_1'PF_2 = \angle F_1PF_2'\) 即 \(\angle F_1'PF_1 = \angle F_1'PF_2 - \angle F_1PF_2 = \angle F_1PF_2' - \angle F_1PF_2 = \angle F_2PF_2'\)，则 \(\angle F_1PX = \angle F_2PY\)。

\(\qquad\) 对于双曲线，也有着相似的结论，如下图，此时 \(\angle F_1PX = \pi - \angle F_2PY\)。

\(\qquad\) 假设有一个以 \(F_1, F_2\) 为焦点的椭圆 \(C\) 内切于 \(\triangle ABC\)，由 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 可知 \(\angle BAF_1 = \angle CAF_2, \angle ABF_1 = \angle CBF_2, \angle BCF_1 = \angle ACF_1\)。

\(\qquad\) 回归 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 中的构型，由 \(\triangle F_1'PF_2 \cong \triangle F_1PF_2'\) 可知 \(\angle PF_1X = \angle PF_1'F_2 = \angle PF_1F_2' = \angle PF_1Y\)，由此得到下面的 \(\mathrm{Theorem\ 1.4}\)。

\(\mathbf{Theorem\ 1.4.}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，则 \(PF_1\) 平分 \(\angle XF_1Y\)。

\(\mathbf{Theorem\ 1.5.}\) 如下图，给定一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 外一点 \(P\)，过 \(P\) 做 \(C\) 的两条切线，切点分别为 \(X, Y\)，若 \(F_1, F_2\) 分别为 \(C\) 的焦点，\(\angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，则 \(P\) 的轨迹为一个以 \(C\) 的中心为圆心的圆。

\(\mathbf{Proof.}\) 做 \(F_1\) 关于 \(PX\) 的对称点 \(F_1'\)，连接 \(F_1'P, F_1P, F_1'X, F_2X\)。
\(\qquad\) 由 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 得 \(F_1', X, F_2\) 共线且 \(\angle F_2PY = \angle F_1PX = \angle F_1'PX\)，则 \(\angle F_1'PF_2 = \angle F_1'PX + \angle XPF_2 = \angle XPF_2 + \angle F_2PY = \angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，故 \(F_1P^2 + F_2P^2 = F_1'P^2 + F_2P^2 = F_1'F_2^2 = 4a^2\)。令 \(O\) 为 \(C\) 的中心，则 \(O\) 为 \(F_1F_2\) 的中点，则有 \(OP^2 = \frac{1}{2} (F_1P^2 + F_2P^2) - \frac{1}{4} F_1F_2^2\)（余弦定理），故 \(P\) 的轨迹为以 \(O\) 为圆心的圆。

\(\qquad\) 对于双曲线而言，\(\mathrm{Theorem\ 1.5}\) 中的 \(P\) 的轨迹并不总是存在的，因为 \(OP^2 = \frac{1}{2} (F_1P^2 + F_2P^2) - \frac{1}{4} F_1F_2^2 = 2a^2 - c^2\)。当双曲线的虚轴长大于实轴长时，\(2a^2 - c^2 < 0\)，此时 \(P\) 的轨迹是一个半径为虚数的圆（这么神秘）。

\(\qquad\) 更一般的，对于平面上 \(n\) 个定点 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 和 \(n\) 个定值 \(k_1, k_2, \cdots, k_n\) 以及定值 \(C\)，满足 \(\sum_{i = 1}^n k_i X_iP^2 = C\) 的点 \(P\) 的轨迹是一个圆，这个圆被称为“费马——阿波罗尼圆”（我也不知道这是啥，嗯搜半天没搜出来）。

第二定义

\(\qquad\) 众所周知用一个平面去截一个圆锥可以截出来所有二次曲线（非退化的），现在通过这个定义来导出二次曲线的第二定义。

\(\qquad\) 如下图，给出一个以 \(S\) 为顶点的圆锥，平面 \(\pi\) 与该圆锥相交，构造一个平面 \(\pi\) 下面的球同时与该圆锥和平面 \(\pi\) 相切，该球与平面 \(\pi\) 切于点 \(F\)，与圆锥切于一个圆 \(C\) 上，假设圆 \(C\) 在平面 \(\sigma\) 上，令 \(l\) 为 \(\pi\) 与 \(\sigma\) 的交线。在平面 \(\pi\) 截出来的二次曲线上任取一点 \(X\)，连接 \(SX\) 交圆 \(C\) 于点 \(Y\)。分别做点 \(X\) 到直线 \(l\) 和平面 \(\sigma\) 的投影 \(Z, T\)。

\(\qquad\) 令 \(\alpha = \angle TXY, \beta = \angle TXZ\)，则 \(XY = \frac{XY}{\cos \alpha}, XZ = \frac{XY}{\cos \beta}\)，故 \(\frac{XY}{XZ} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}\)。又因为 \(\alpha, \beta\) 均为定值，且 \(XY, XF\) 均为球的切线，故 \(\frac{XF}{XZ} = \frac{XY}{XZ}\)，则 \(\frac{XF}{XZ}\) 为定值。

\(\qquad\) 记 \(e = \frac{XF}{XZ}\)，则当 \(e < 1, e = 1, e > 1\) 时该二次曲线分别为椭圆、抛物线、双曲线。

抛物线的几个性质

\(\qquad\) 在这一部分中，在不特殊声明的情况下，\(F\) 均为抛物线的焦点，\(l_0\) 均为抛物线的准线。先从几个待会儿会频繁用到的引理说起。

\(\mathbf{Lemma\ 1.1.}\) 如下图，\(F\) 关于过点 \(P\) 的抛物线切线对称的像在 \(l_0\) 上。

\(\mathbf{Proof.}\) 过点 \(P\) 做 \(PP' \perp l\)，垂足为 \(P'\)，连接 \(FP'\)。
\(\qquad\) 由光学性质得 \(\angle FPl' = \angle l'PP'\)，由抛物线的定义得 \(FP = P'P\)，故 \(l'\) 垂直平分 \(FP'\)，即 \(P'\) 为 \(F\) 关于直线 \(l'\) 对称的像，而 \(P'\) 在 \(l_0\) 上。

\(\mathbf{Corollary.}\) 如下图，\(F\) 到该抛物线的任意一条切线的投影均在一直线上，且该直线为该抛物线顶点处的切线。

\(\qquad\) 该结论由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 可直接推出（\(F\) 到切线的投影均为 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 中 \(FP'\) 的中点，故 \(F\) 到切线的投影均在抛物线顶点处的切线上运动）。

\(\mathbf{Lemma\ 1.2.}\) 如下图，抛物线上有两点 \(X, Y\)，其到 \(l_0\) 的投影为 \(X', Y'\)，\(P\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 处的抛物线切线交点，则 \(P\) 为 \(\triangle FX'Y'\) 外心。

\(\mathbf{Proof.}\) 由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 得 \(F, X'\) 与 \(F, Y'\) 分别关于直线 \(FX\) 与 \(FY\) 对称，则 \(PX' = PF = PY'\)，故 \(P\) 为 \(\triangle FX'Y'\) 外心。

\(\mathbf{Corollary.}\) 如下图，\(P\) 到 \(l_0\) 的投影为 \(X'Y'\) 的中点。

\(\qquad\) 该结论由 \(\mathrm{Lemma\ 1.2}\) 可直接推出。

\(\qquad\) 接下来的定理与 \(\mathrm{Theorem\ 1.2}\) 与 \(\mathrm{Theorem\ 1.5}\) 相似，只是将椭圆换成了抛物线。

\(\mathbf{Theorem\ 1.7.}\) 如下图，抛物线上有两点 \(X, Y\)，\(P\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 处的抛物线切线交点，且 \(\angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，则 \(P\) 在 \(l_0\) 上，且 \(X, F, Y\) 三点共线，同时有 \(PF \perp XY\)。

\(\mathbf{Proof.}\) 假设 \(P\) 就在 \(l_0\) 上，分别做 \(X, Y\) 到 \(l_0\) 的投影 \(X', Y'\)，连接 \(FX, FY\)。
\(\qquad\) 由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 可知，\(F, X'\) 与 \(F, Y'\) 分别关于直线 \(PX\) 与 \(PY\) 对称，故 \(\angle PFX = \angle PX'X = \frac{\pi}{2}, \angle PFY = \angle PY'Y = \frac{\pi}{2}, \angle FPX = \angle X'PX, \angle FPY = \angle Y'PY\)，则 \(\angle PFX + \angle PFY = \pi, \angle X'PX + \angle FPX + \angle FPY + \angle Y'PY = 2(\angle FPX + \angle FPY) = 2\angle XPY = \pi\)，即 \(X, F, Y\) 共线且 \(\angle XPY = \frac{\pi}{2}\)，又因为 \(\angle PFX = \frac{\pi}{2}\)，则 \(PF \perp XY\)。
\(\qquad\) 同时，若 \(P\) 不在 \(l_0\) 上，则容易证明此时一定有 \(\angle XPY \neq \frac{\pi}{2}\)，读者不妨自己尝试一下。

\(\mathbf{Theorem\ 1.8.}\) 如下图，抛物线上有两点 \(X, Y\)，\(P\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 处的抛物线切线交点，且 \(\angle XPY = \phi\) 或 \(\angle XPY = \pi - \phi\)，则 \(P\) 在一条双曲线上。且 \(F\) 为该双曲线的焦点， \(l_0\) 为该双曲线的准线。

\(\mathbf{Proof.}\) 不妨设 \(\phi > \pi\)，分别做 \(X, Y\) 到 \(l_0\) 的投影 \(X', Y'\)，连接 \(FX, FY, PX', PY'\)。
\(\qquad\) 先考虑 \(\angle XPY = \phi\)。由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 可知，\(PX \perp FX', PY \perp FY'\)，则 \(\angle X'FY' = \pi - \angle XPY = \pi - \phi\)，又由 \(\mathrm{Lemma\ 1.2}\) 可知，\(\angle X'PY' = 2\angle X'FY'\)（圆周角定理），则 \(P\) 到 \(l_0\) 的距离 \(d = |PX' \cos \frac{\angle X'PY'}{2}| = |PX' \cos \phi| = PF |\cos \phi|\)，即 \(e = \frac{PF}{d} = \frac{1}{|\cos \phi|} > 1\)，即 \(P\) 在双曲线上。
\(\qquad\) 当 \(\angle XPY = \pi - \phi\) 时，\(P\) 在双曲线的另外一支上。

\(\qquad\) 对抛物线而言，同样有类似于 \(\mathrm{Theorem\ 1.3}\) 和 \(\mathrm{Theorem\ 1.4}\) 的性质。

\(\mathbf{Theorem\ 1.9.}\) 如下图，抛物线上有两点 \(X, Y\)，\(P\) 为 \(X\) 与 \(Y\) 处的抛物线切线交点，连接 \(FX, FP, FY\)，过点 \(P\) 做直线 \(l \perp l_0\)，则 \(\angle XPF = \angle YPl\)，且 \(\triangle XFP \sim \triangle PFY\)。

\(\mathbf{Proof.}\) 分别做 \(X, Y\) 到 \(l_0\) 的投影 \(X', Y'\)，连接 \(PX', PY', FX', FY'\)。
\(\qquad\) 由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 可知，\(\angle XPX' = \angle XPF\)，由 \(\mathrm{Lemma\ 1.2}\) 可知，\(\angle FY'X' = \frac{\angle FPX'}{2} = \angle XPF\)，则 \(\angle YPl = \pi - \angle lPY = \angle FY'X' = \angle XPF\)。
\(\qquad\) 又因为 \(l \parallel YY'\)，则 \(\angle PYF = \angle PYY' = \angle YPl = \angle XPF\)。同时 \(PX' = PY'\)，则 \(\angle PX'Y' = \angle PY'X'\) 即 \(\angle PX'X = \angle PY'Y\)，故 \(\angle XFP = \angle PX'X = \angle PY'Y = \angle PFY\)，则 \(\triangle XFP \sim \triangle PFY\)。

\(\qquad\) 下一个定理其实是 \(\mathrm{Theorem\ 1.9}\) 的推论，但是可以用 Simson 线来炫酷地证明它。在此之前先来讲一下什么是 Simson 线。

\(\mathbf{Lemma\ 1.3\ (Simson).}\) 如下图，\(P\) 到 \(\triangle ABC\) 各边的投影共线是 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 的外接圆上的充要条件。

\(\mathbf{Proof.}\) 记 \(P_x\) 表示 \(P\) 到 \(X\) 的对边的投影，连接 \(PA, PC\)，则 \(PCP_bP_a\) 和 \(PP_bAP_c\) 均为圆内接四边形。
\(\qquad\) 因此 \(\angle PP_bP_a = \angle PCP_a = \angle PCB\)，\(\angle PP_bP_c = \angle PAP_c = \angle PAB\)，\(P_a, P_b, P_c\) 共线当且仅当 \(\angle PP_bP_a = \angle PP_bP_c\) 即 \(\angle PCB = \angle PAB\)，该条件成立当且仅当 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 的外接圆上。

\(\qquad\) 称直线 \(P_bP_c\) 为 \(P\) 关于 \(\triangle ABC\) 的 Simson 线。

\(\mathbf{Theorem\ 1.10.}\) 若 \(\triangle ABC\) 的各边与抛物线相切，则 \(F\) 在 \(\triangle ABC\) 的外接圆上。

\(\mathbf{Proof.}\) 记 \(F_x\) 表示 \(F\) 到 \(X\) 的对边的投影，则由 \(\mathrm{Lemma\ 1.1}\) 可知 \(F_a, F_b, F_c\) 共线，则由 \(\mathrm{Lemma\ 1.3}\) 可知 \(F\) 在 \(\triangle ABC\) 的外接圆上。

\(\qquad\) Simson 线还有许多神秘的性质：

\(\mathbf{Lemma\ 1.4.}\) 如下图，若 \(P\) 为 \(\triangle ABC\) 外接圆上一点，在 \(\triangle ABC\) 外接圆上截一点 \(B'\) 使得 \(PB' \perp AC\)，则 \(P\) 关于 \(\triangle ABC\) 的 Simson 线与直线 \(BB'\) 平行。

\(\mathbf{Proof.}\) 连接 \(AP\)。
\(\qquad\) 则 \(\angle B'BA = \angle B'PA\)。因 \(PP_b \perp P_bP_c, PP_c \perp P_cA\)，则 \(PP_bP_cA\) 为圆内接四边形且直径为 \(AP\)，则 \(\angle AP_cP_b = \pi - \angle APP_b = \pi - \angle B'PA\)，故 \(\angle BP_cP_b = \pi - \angle AP_cP_b = \angle B'PA = \angle B'BA\)，则 \(BB' \parallel P_bP_c\)。

\(\mathbf{Corollary.}\) 如下图，若 \(P\) 为 \(\triangle ABC\) 外接圆上一点，\(H\) 为 \(\triangle ABC\) 的垂心，则 \(P\) 关于 \(\triangle ABC\) 的 Simson 线平分线段 \(PH\)。

\(\mathbf{Proof.}\) 做 \(H\) 关于 \(AC\) 的对称点 \(H'\)，在 \(PB'\) 上截一点 \(P'\) 使得 \(P'H \parallel B'B\)。
\(\qquad\) 则 \(\angle AH'C = \angle AHC = \pi - \angle ABC\) 即 \(H'\) 在 \(\triangle ABC\) 的外接圆上。又因为 \(B'P \perp AC, BH' \perp AC\)，则 \(B'P \parallel BH'\)，故 \(B'B = PH'\)，即四边形 \(BB'PH'\) 为等腰梯形。又因为 \(P'H \parallel B'B\)，则四边形 \(BB'P'H\) 为平行四边形，且 \(P_bP_c \parallel P'H\)，故 \(P'H = B'B = PH'\) 即四边形 \(HP'PH'\) 为等腰梯形。又因为 \(AC\) 垂直平分 \(HH'\)，则 \(AC\) 垂直平分 \(PP'\)，即 \(P_bP_c\) 为 \(\triangle PP'H\) 的中位线，则 \(P_bP_c\) 平分 \(PH\)。

\(\qquad\) 根据 \(\mathrm{Lemma\ 1.4}\) 和上文中的 \(\mathrm{Corollary}\) 可以得到下面这个炫酷的定理：

\(\mathbf{Theorem\ 1.11.}\) 如下图，若 \(\triangle ABC\) 的各边与抛物线相切，则 \(\triangle ABC\) 的垂心 \(H\) 始终过 \(l_0\)。

\(\qquad\) 证明是显然的。

Chapter 2 - Some Results from Classical Geometry

\(\qquad\) 初中平几复健。

反演、九点圆与费尔巴哈定理

\(\qquad\) 反演是一种几何变换，对于一个以 \(O\) 为中心，\(r\) 为半径的反演变换，平面上除 \(O\) 外任意一点 \(A\) 均被变换成一点 \(A'\)，\(A'\) 在射线 \(OA\) 上且 \(OA' \times OA = r^2\)。

\(\qquad\) 以 \(O\) 为中心，\(r\) 为半径的反演变换有如下性质：

• 若 \(A\) 被变换成 \(B\)，则 \(B\) 被变换成 \(A\)。
• 过 \(O\) 的直线（不含点 \(O\)）被变换成它自身。
• 不过 \(O\) 的直线被变换成一个过点 \(O\) 的圆（不含点 \(O\)）。
• 不过 \(O\) 的圆 \(A\) 被变换成另一个圆 \(B\)，且该圆 \(B\) 与圆 \(A\) 以 \(O\) 为中心位似。
• 若 \(A\) 与 \(B\) 的夹角（有向角）为 \(\alpha\)，则变换后 \(A'\) 与 \(B'\) 的夹角（有向角）为 \(-\alpha\)（反向保角性）。
• ……

\(\qquad\) 反演的性质很好，但是二次曲线反演后不一定是二次曲线，在之后的章节会基于反演构建出配极变换的定义，二次曲线配极变换后一定是二次曲线。

\(\qquad\) 接下来介绍九点圆（亦称欧拉圆）：

\(\qquad\) 如图，对于 \(\triangle ABC\) 的九点圆指：同时过 \(\triangle ABC\) 各边中点、各点到对边的投影、各点与垂心连线的中点这九点的圆。

\(\qquad\) 记 \(M_x\) 表示 \(X\) 的对边的中点，\(H_x\) 表示 \(X\) 到其对边的投影，做圆 \(O\) 过 \(M_a, M_b, M_c\) 三点，考虑证明 \(H_x\ (x = a, b, c)\) 均在圆 \(O\) 上：
\(\qquad\) 连接 \(M_aM_c, M_aM_b, G_aM_c, G_aM_b\)，则 \(M_aM_c \parallel AM_b\) 且 \(M_aM_c = AM_b\)，故 \(\angle M_bM_aM_c = \angle BAC\)。因为 \(AG_a \perp BC, AM_c = BM_c, AM_b = CM_b\)，则 \(AM_c = G_aM_c, AM_b = G_aM_b\)，即 \(\angle AG_aM_c = \angle BAG_a, \angle AG_aM_b = \angle CAG_a\)，则 \(\angle M_bG_aM_c = \angle AG_aM_c + \angle AG_aM_b = \angle BAC = \angle M_bM_aM_c\)，即 \(M_a, M_b, M_c, G_a\) 共圆。同理，\(M_a, M_b, M_c, G_b\) 与 \(M_a, M_b, M_c, G_c\) 均共圆。
\(\qquad\) 记 \(H\) 为 \(\triangle ABC\) 的垂心，则 \(\triangle ABH\) 各点到其对边的投影也分别为 \(H_a, H_b, H_c\)，故 \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle ABH\) 的九点圆重合，即 \(\triangle ABC\) 的九点圆过 \(AH\) 与 \(BH\) 的中点。同理，其也过 \(CH\) 的中点。

\(\qquad\) 接下来证明 Feuerbach 定理：

\(\mathbf{Theorem\ 2.1\ (Feuerbach).}\) 如下图，对于 \(\triangle ABC\)，其九点圆与它的内切圆和旁切圆均相切（对于等边三角形，其九点圆与内切圆重合）。

（开坑待补）