「Geometry of Conics」读书笔记

Chapter 1 - Elementary Properties of Curves of Second Degree

$$ 如题，都是二次曲线的简单性质和几个等价定义。在下文中，我们称一个二次曲线“退化”表示它变成了两条直线或一条直线或一个点。

朴素定义

$$ 各位在中学课本上学过的定义：到两点的距离和 / 差为定值之类……

光学性质

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.1}\mathbf{.}$ 如下图，$l$ 为椭圆 $C$ 在 $P$ 点的切线，图中标出的两角（ $\mathrm{\angle }{F}_{1}PX$ 与 $\mathrm{\angle }{F}_{1}Pl$ ）是相等的。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ $F_{1}X+F_{2}X>F_{1}P+F_{2}P$，所以光从 $F_1$ 射向 $P$ 后沿 $P{F}_2$ 方向射出（费马原理）。

$$ 抛物线与双曲线的情形如下图，与椭圆类似，结论的证明留作习题（注：考虑反证法，辅助线已画出）。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.2}\mathbf{.}$ 如下图，$F_1$ 和 $F_2$ 为椭圆 $C$ 的焦点，$PQ$ 为过点 $F_1$ 的椭圆 $C$ 的弦，分别在 $P,Q$ 点处的 $C$ 的切线交于一点 $R$，则 $R$ 为 $\mathrm{△}{F}_{2}PQ$ 的旁心，且 $PQ\perp F_{1}R$。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 由光学性质可知 $R$ 为 $\mathrm{△}{F}_{2}PQ$ 的两外角（ $\mathrm{\angle }{F}_{2}PQ$ 和 $\mathrm{\angle }{F}_{2}QP$ 的补角 ）的角平分线的交点，则 $R$ 为 $\mathrm{△}{F}_{2}PQ$ 的旁心。过点 $R$ 分别做 $R{F}_1^{\prime }\perp PQ,RX\perp F_{2}P,RY\perp F_{2}Q$，垂足分别为 $F_1^{\prime },X,Y$。
$$ 则 $PX=P{F}_1^{\prime },QY=Q{F}_1^{\prime }$，故 $F_{2}X=F_{2}P+PX=F_{2}P+F_1^{\prime }P,F_{2}Y=F_{2}Q+QY=F_{2}Q+F_1^{\prime }Q$，又知 $R$ 为 $\mathrm{△}{F}_{2}PQ$ 的旁心，故 $F_{2}X=F_{2}Y$ 即 $F_{2}P+F_1^{\prime }P=F_{2}Q+F_1^{\prime }Q$，而 $F_{2}P+F_1^{\prime }P+F_{2}Q+F_1^{\prime }Q=4a$，则 $F_{2}P+F_1^{\prime }P=F_{2}Q+F_1^{\prime }Q=2a$ 即 $F_1^{\prime }$ 与 $F_1$ 重合。

$$ 对双曲线而言，$\mathrm{Theorem}1.2$ 中的旁心改成内心后仍成立。

等角共轭

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.3}\mathbf{.}$ 如下图，给定一个椭圆 $C$ 和 $C$ 外一点 $P$，过 $P$ 做 $C$ 的两条切线，切点分别为 $X,Y$，若 $F_1,F_2$ 分别为 $C$ 的焦点，则 $\mathrm{\angle }{F}_{1}PX=\mathrm{\angle }{F}_{2}PY$。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 做 $F_1$ 关于 $PX$ 的对称点 $F_1^{\prime }$ 与 $F_2$ 关于 $PY$ 的对称点 $F_2^{\prime }$，连接 $X{F}_1,X{F}_2,X{F}_1^{\prime },Y{F}_1,Y{F}_2,Y{F}_2^{\prime }$。
$$ 由光学性质和对称的性质可知：$\mathrm{\angle }{F}_{2}XP=\pi -\mathrm{\angle }{F}_{1}XP=\pi -\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }XP$ 即 $\mathrm{\angle }{F}_{2}XP+\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }XP=\pi$，故 $F_2,X,F_1^{\prime }$ 共线，同理 $F_1,Y,F_2^{\prime }$ 共线。$F_1^{\prime }{F}_2=F_1^{\prime }X+F_{2}X=F_{1}X+F_{2}X=2a$，同理 $F_1{F}_2^{\prime }=2a$，则 $F_1^{\prime }{F}_2=F_1{F}_2^{\prime }$。又因为 $F_{1}P=F_1^{\prime }P,F_{2}P=F_2^{\prime }P$，故 $\mathrm{△}P{F}_1^{\prime }{F}_2\cong \mathrm{△}P{F}_1{F}_2^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }P{F}_2=\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2^{\prime }$ 即 $\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }P{F}_1=\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }P{F}_2-\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2=\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2^{\prime }-\mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2=\mathrm{\angle }{F}_{2}P{F}_2^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }{F}_{1}PX=\mathrm{\angle }{F}_{2}PY$。

$$ 对于双曲线，也有着相似的结论，如下图，此时 $\mathrm{\angle }{F}_{1}PX=\pi -\mathrm{\angle }{F}_{2}PY$。

$$ 假设有一个以 $F_1,F_2$ 为焦点的椭圆 $C$ 内切于 $\mathrm{△}ABC$，由 $\mathrm{Theorem}1.3$ 可知 $\mathrm{\angle }BA{F}_1=\mathrm{\angle }CA{F}_2,\mathrm{\angle }AB{F}_1=\mathrm{\angle }CB{F}_2,\mathrm{\angle }BC{F}_1=\mathrm{\angle }AC{F}_1$。

$$ 回归 $\mathrm{Theorem}1.3$ 中的构型，由 $\mathrm{△}{F}_1^{\prime }P{F}_2\cong \mathrm{△}{F}_{1}P{F}_2^{\prime }$ 可知 $\mathrm{\angle }P{F}_{1}X=\mathrm{\angle }P{F}_1^{\prime }{F}_2=\mathrm{\angle }P{F}_1{F}_2^{\prime }=\mathrm{\angle }P{F}_{1}Y$，由此得到下面的 $\mathrm{Theorem}1.4$。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.4}\mathbf{.}$ 如下图，给定一个椭圆 $C$ 和 $C$ 外一点 $P$，过 $P$ 做 $C$ 的两条切线，切点分别为 $X,Y$，若 $F_1,F_2$ 分别为 $C$ 的焦点，则 $P{F}_1$ 平分 $\mathrm{\angle }X{F}_{1}Y$。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.5}\mathbf{.}$ 如下图，给定一个椭圆 $C$ 和 $C$ 外一点 $P$，过 $P$ 做 $C$ 的两条切线，切点分别为 $X,Y$，若 $F_1,F_2$ 分别为 $C$ 的焦点，$\mathrm{\angle }XPY=\frac{\pi }{2}$，则 $P$ 的轨迹为一个以 $C$ 的中心为圆心的圆。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 做 $F_1$ 关于 $PX$ 的对称点 $F_1^{\prime }$，连接 $F_1^{\prime }P,F_{1}P,F_1^{\prime }X,F_{2}X$。
$$ 由 $\mathrm{Theorem}1.3$ 得 $F_1^{\prime },X,F_2$ 共线且 $\mathrm{\angle }{F}_{2}PY=\mathrm{\angle }{F}_{1}PX=\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }PX$，则 $\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }P{F}_2=\mathrm{\angle }{F}_1^{\prime }PX+\mathrm{\angle }XP{F}_2=\mathrm{\angle }XP{F}_2+\mathrm{\angle }{F}_{2}PY=\mathrm{\angle }XPY=\frac{\pi }{2}$，故 $F_1{P}^2+F_2{P}^2=F_1^{\prime }{P}^2+F_2{P}^2=F_1^{\prime }{F}_2^2=4a^2$。令 $O$ 为 $C$ 的中心，则 $O$ 为 $F_1{F}_2$ 的中点，则有 $O{P}^2=\frac{1}{2}(F_1{P}^2+F_2{P}^2)-\frac{1}{4}{F}_1{F}_2^2$（余弦定理），故 $P$ 的轨迹为以 $O$ 为圆心的圆。

$$ 对于双曲线而言，$\mathrm{Theorem}1.5$ 中的 $P$ 的轨迹并不总是存在的，因为 $O{P}^2=\frac{1}{2}(F_1{P}^2+F_2{P}^2)-\frac{1}{4}{F}_1{F}_2^2=2a^2-c^2$。当双曲线的虚轴长大于实轴长时，$2a^2-c^2<0$，此时 $P$ 的轨迹是一个半径为虚数的圆（这么神秘）。

$$ 更一般的，对于平面上 $n$ 个定点 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 和 $n$ 个定值 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 以及定值 $C$，满足 $\sum _{i=1}^n{k}_i{X}_i{P}^2=C$ 的点 $P$ 的轨迹是一个圆，这个圆被称为“费马——阿波罗尼圆”（我也不知道这是啥，嗯搜半天没搜出来）。

第二定义

$$ 众所周知用一个平面去截一个圆锥可以截出来所有二次曲线（非退化的），现在通过这个定义来导出二次曲线的第二定义。

$$ 如下图，给出一个以 $S$ 为顶点的圆锥，平面 $\pi$ 与该圆锥相交，构造一个平面 $\pi$ 下面的球同时与该圆锥和平面 $\pi$ 相切，该球与平面 $\pi$ 切于点 $F$，与圆锥切于一个圆 $C$ 上，假设圆 $C$ 在平面 $\sigma$ 上，令 $l$ 为 $\pi$ 与 $\sigma$ 的交线。在平面 $\pi$ 截出来的二次曲线上任取一点 $X$，连接 $SX$ 交圆 $C$ 于点 $Y$。分别做点 $X$ 到直线 $l$ 和平面 $\sigma$ 的投影 $Z,T$。

$$ 令 $\alpha =\mathrm{\angle }TXY,\beta =\mathrm{\angle }TXZ$，则 $XY=\frac{XY}{\cos \alpha },XZ=\frac{XY}{\cos \beta }$，故 $\frac{XY}{XZ}=\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }$。又因为 $\alpha ,\beta$ 均为定值，且 $XY,XF$ 均为球的切线，故 $\frac{XF}{XZ}=\frac{XY}{XZ}$，则 $\frac{XF}{XZ}$ 为定值。

$$ 记 $e=\frac{XF}{XZ}$，则当 $e<1,e=1,e>1$ 时该二次曲线分别为椭圆、抛物线、双曲线。

抛物线的几个性质

$$ 在这一部分中，在不特殊声明的情况下，$F$ 均为抛物线的焦点，$l_0$ 均为抛物线的准线。先从几个待会儿会频繁用到的引理说起。

$\mathbf{Lemma}\mathbf{1.1}\mathbf{.}$ 如下图，$F$ 关于过点 $P$ 的抛物线切线对称的像在 $l_0$ 上。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 过点 $P$ 做 $P{P}^{\prime }\perp l$，垂足为 $P^{\prime }$，连接 $F{P}^{\prime }$。
$$ 由光学性质得 $\mathrm{\angle }FP{l}^{\prime }=\mathrm{\angle }{l}^{\prime }P{P}^{\prime }$，由抛物线的定义得 $FP=P^{\prime }P$，故 $l^{\prime }$ 垂直平分 $F{P}^{\prime }$，即 $P^{\prime }$ 为 $F$ 关于直线 $l^{\prime }$ 对称的像，而 $P^{\prime }$ 在 $l_0$ 上。

$\mathbf{Corollary}\mathbf{.}$ 如下图，$F$ 到该抛物线的任意一条切线的投影均在一直线上，且该直线为该抛物线顶点处的切线。

$$ 该结论由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 可直接推出（$F$ 到切线的投影均为 $\mathrm{Lemma}1.1$ 中 $F{P}^{\prime }$ 的中点，故 $F$ 到切线的投影均在抛物线顶点处的切线上运动）。

$\mathbf{Lemma}\mathbf{1.2}\mathbf{.}$ 如下图，抛物线上有两点 $X,Y$，其到 $l_0$ 的投影为 $X^{\prime },Y^{\prime }$，$P$ 为 $X$ 与 $Y$ 处的抛物线切线交点，则 $P$ 为 $\mathrm{△}F{X}^{\prime }{Y}^{\prime }$ 外心。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 得 $F,X^{\prime }$ 与 $F,Y^{\prime }$ 分别关于直线 $FX$ 与 $FY$ 对称，则 $P{X}^{\prime }=PF=P{Y}^{\prime }$，故 $P$ 为 $\mathrm{△}F{X}^{\prime }{Y}^{\prime }$ 外心。

$\mathbf{Corollary}\mathbf{.}$ 如下图，$P$ 到 $l_0$ 的投影为 $X^{\prime }{Y}^{\prime }$ 的中点。

$$ 该结论由 $\mathrm{Lemma}1.2$ 可直接推出。

$$ 接下来的定理与 $\mathrm{Theorem}1.2$ 与 $\mathrm{Theorem}1.5$ 相似，只是将椭圆换成了抛物线。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.7}\mathbf{.}$ 如下图，抛物线上有两点 $X,Y$，$P$ 为 $X$ 与 $Y$ 处的抛物线切线交点，且 $\mathrm{\angle }XPY=\frac{\pi }{2}$，则 $P$ 在 $l_0$ 上，且 $X,F,Y$ 三点共线，同时有 $PF\perp XY$。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 假设 $P$ 就在 $l_0$ 上，分别做 $X,Y$ 到 $l_0$ 的投影 $X^{\prime },Y^{\prime }$，连接 $FX,FY$。
$$ 由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 可知，$F,X^{\prime }$ 与 $F,Y^{\prime }$ 分别关于直线 $PX$ 与 $PY$ 对称，故 $\mathrm{\angle }PFX=\mathrm{\angle }P{X}^{\prime }X=\frac{\pi }{2},\mathrm{\angle }PFY=\mathrm{\angle }P{Y}^{\prime }Y=\frac{\pi }{2},\mathrm{\angle }FPX=\mathrm{\angle }{X}^{\prime }PX,\mathrm{\angle }FPY=\mathrm{\angle }{Y}^{\prime }PY$，则 $\mathrm{\angle }PFX+\mathrm{\angle }PFY=\pi ,\mathrm{\angle }{X}^{\prime }PX+\mathrm{\angle }FPX+\mathrm{\angle }FPY+\mathrm{\angle }{Y}^{\prime }PY=2(\mathrm{\angle }FPX+\mathrm{\angle }FPY)=2\mathrm{\angle }XPY=\pi$，即 $X,F,Y$ 共线且 $\mathrm{\angle }XPY=\frac{\pi }{2}$，又因为 $\mathrm{\angle }PFX=\frac{\pi }{2}$，则 $PF\perp XY$。
$$ 同时，若 $P$ 不在 $l_0$ 上，则容易证明此时一定有 $\mathrm{\angle }XPY\ne \frac{\pi }{2}$，读者不妨自己尝试一下。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.8}\mathbf{.}$ 如下图，抛物线上有两点 $X,Y$，$P$ 为 $X$ 与 $Y$ 处的抛物线切线交点，且 $\mathrm{\angle }XPY=\varphi$ 或 $\mathrm{\angle }XPY=\pi -\varphi$，则 $P$ 在一条双曲线上。且 $F$ 为该双曲线的焦点， $l_0$ 为该双曲线的准线。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 不妨设 $\varphi >\pi$，分别做 $X,Y$ 到 $l_0$ 的投影 $X^{\prime },Y^{\prime }$，连接 $FX,FY,P{X}^{\prime },P{Y}^{\prime }$。
$$ 先考虑 $\mathrm{\angle }XPY=\varphi$。由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 可知，$PX\perp F{X}^{\prime },PY\perp F{Y}^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }{X}^{\prime }F{Y}^{\prime }=\pi -\mathrm{\angle }XPY=\pi -\varphi$，又由 $\mathrm{Lemma}1.2$ 可知，$\mathrm{\angle }{X}^{\prime }P{Y}^{\prime }=2\mathrm{\angle }{X}^{\prime }F{Y}^{\prime }$（圆周角定理），则 $P$ 到 $l_0$ 的距离 $d=|P{X}^{\prime }\cos \frac{\mathrm{\angle }{X}^{\prime }P{Y}^{\prime }}{2}|=|P{X}^{\prime }\cos \varphi |=PF|\cos \varphi |$，即 $e=\frac{PF}{d}=\frac{1}{|\cos \varphi |}>1$，即 $P$ 在双曲线上。
$$ 当 $\mathrm{\angle }XPY=\pi -\varphi$ 时，$P$ 在双曲线的另外一支上。

$$ 对抛物线而言，同样有类似于 $\mathrm{Theorem}1.3$ 和 $\mathrm{Theorem}1.4$ 的性质。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.9}\mathbf{.}$ 如下图，抛物线上有两点 $X,Y$，$P$ 为 $X$ 与 $Y$ 处的抛物线切线交点，连接 $FX,FP,FY$，过点 $P$ 做直线 $l\perp l_0$，则 $\mathrm{\angle }XPF=\mathrm{\angle }YPl$，且 $\mathrm{△}XFP\sim \mathrm{△}PFY$。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 分别做 $X,Y$ 到 $l_0$ 的投影 $X^{\prime },Y^{\prime }$，连接 $P{X}^{\prime },P{Y}^{\prime },F{X}^{\prime },F{Y}^{\prime }$。
$$ 由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 可知，$\mathrm{\angle }XP{X}^{\prime }=\mathrm{\angle }XPF$，由 $\mathrm{Lemma}1.2$ 可知，$\mathrm{\angle }F{Y}^{\prime }{X}^{\prime }=\frac{\mathrm{\angle }FP{X}^{\prime }}{2}=\mathrm{\angle }XPF$，则 $\mathrm{\angle }YPl=\pi -\mathrm{\angle }lPY=\mathrm{\angle }F{Y}^{\prime }{X}^{\prime }=\mathrm{\angle }XPF$。
$$ 又因为 $l\parallel Y{Y}^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }PYF=\mathrm{\angle }PY{Y}^{\prime }=\mathrm{\angle }YPl=\mathrm{\angle }XPF$。同时 $P{X}^{\prime }=P{Y}^{\prime }$，则 $\mathrm{\angle }P{X}^{\prime }{Y}^{\prime }=\mathrm{\angle }P{Y}^{\prime }{X}^{\prime }$ 即 $\mathrm{\angle }P{X}^{\prime }X=\mathrm{\angle }P{Y}^{\prime }Y$，故 $\mathrm{\angle }XFP=\mathrm{\angle }P{X}^{\prime }X=\mathrm{\angle }P{Y}^{\prime }Y=\mathrm{\angle }PFY$，则 $\mathrm{△}XFP\sim \mathrm{△}PFY$。

$$ 下一个定理其实是 $\mathrm{Theorem}1.9$ 的推论，但是可以用 Simson 线来炫酷地证明它。在此之前先来讲一下什么是 Simson 线。

$\mathbf{Lemma}\mathbf{1.3}\mathbf{(}\mathbf{Simson}\mathbf{)}\mathbf{.}$ 如下图，$P$ 到 $\mathrm{△}ABC$ 各边的投影共线是 $P$ 在 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆上的充要条件。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 记 $P_x$ 表示 $P$ 到 $X$ 的对边的投影，连接 $PA,PC$，则 $PC{P}_b{P}_a$ 和 $P{P}_{b}A{P}_c$ 均为圆内接四边形。
$$ 因此 $\mathrm{\angle }P{P}_b{P}_a=\mathrm{\angle }PC{P}_a=\mathrm{\angle }PCB$，$\mathrm{\angle }P{P}_b{P}_c=\mathrm{\angle }PA{P}_c=\mathrm{\angle }PAB$，$P_a,P_b,P_c$ 共线当且仅当 $\mathrm{\angle }P{P}_b{P}_a=\mathrm{\angle }P{P}_b{P}_c$ 即 $\mathrm{\angle }PCB=\mathrm{\angle }PAB$，该条件成立当且仅当 $P$ 在 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆上。

$$ 称直线 $P_b{P}_c$ 为 $P$ 关于 $\mathrm{△}ABC$ 的 Simson 线。

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.10}\mathbf{.}$ 若 $\mathrm{△}ABC$ 的各边与抛物线相切，则 $F$ 在 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆上。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 记 $F_x$ 表示 $F$ 到 $X$ 的对边的投影，则由 $\mathrm{Lemma}1.1$ 可知 $F_a,F_b,F_c$ 共线，则由 $\mathrm{Lemma}1.3$ 可知 $F$ 在 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆上。

$$ Simson 线还有许多神秘的性质：

$\mathbf{Lemma}\mathbf{1.4}\mathbf{.}$ 如下图，若 $P$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 外接圆上一点，在 $\mathrm{△}ABC$ 外接圆上截一点 $B^{\prime }$ 使得 $P{B}^{\prime }\perp AC$，则 $P$ 关于 $\mathrm{△}ABC$ 的 Simson 线与直线 $B{B}^{\prime }$ 平行。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 连接 $AP$。
$$ 则 $\mathrm{\angle }{B}^{\prime }BA=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }PA$。因 $P{P}_b\perp P_b{P}_c,P{P}_c\perp P_{c}A$，则 $P{P}_b{P}_{c}A$ 为圆内接四边形且直径为 $AP$，则 $\mathrm{\angle }A{P}_c{P}_b=\pi -\mathrm{\angle }AP{P}_b=\pi -\mathrm{\angle }{B}^{\prime }PA$，故 $\mathrm{\angle }B{P}_c{P}_b=\pi -\mathrm{\angle }A{P}_c{P}_b=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }PA=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }BA$，则 $B{B}^{\prime }\parallel P_b{P}_c$。

$\mathbf{Corollary}\mathbf{.}$ 如下图，若 $P$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 外接圆上一点，$H$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 的垂心，则 $P$ 关于 $\mathrm{△}ABC$ 的 Simson 线平分线段 $PH$。

$\mathbf{Proof}\mathbf{.}$ 做 $H$ 关于 $AC$ 的对称点 $H^{\prime }$，在 $P{B}^{\prime }$ 上截一点 $P^{\prime }$ 使得 $P^{\prime }H\parallel B^{\prime }B$。
$$ 则 $\mathrm{\angle }A{H}^{\prime }C=\mathrm{\angle }AHC=\pi -\mathrm{\angle }ABC$ 即 $H^{\prime }$ 在 $\mathrm{△}ABC$ 的外接圆上。又因为 $B^{\prime }P\perp AC,B{H}^{\prime }\perp AC$，则 $B^{\prime }P\parallel B{H}^{\prime }$，故 $B^{\prime }B=P{H}^{\prime }$，即四边形 $B{B}^{\prime }P{H}^{\prime }$ 为等腰梯形。又因为 $P^{\prime }H\parallel B^{\prime }B$，则四边形 $B{B}^{\prime }{P}^{\prime }H$ 为平行四边形，且 $P_b{P}_c\parallel P^{\prime }H$，故 $P^{\prime }H=B^{\prime }B=P{H}^{\prime }$ 即四边形 $H{P}^{\prime }P{H}^{\prime }$ 为等腰梯形。又因为 $AC$ 垂直平分 $H{H}^{\prime }$，则 $AC$ 垂直平分 $P{P}^{\prime }$，即 $P_b{P}_c$ 为 $\mathrm{△}P{P}^{\prime }H$ 的中位线，则 $P_b{P}_c$ 平分 $PH$。

$$ 根据 $\mathrm{Lemma}1.4$ 和上文中的 $\mathrm{Corollary}$ 可以得到下面这个炫酷的定理：

$\mathbf{Theorem}\mathbf{1.11}\mathbf{.}$ 如下图，若 $\mathrm{△}ABC$ 的各边与抛物线相切，则 $\mathrm{△}ABC$ 的垂心 $H$ 始终过 $l_0$。

$$ 证明是显然的。

Chapter 2 - Some Results from Classical Geometry

$$ 初中平几复健。

反演、九点圆与费尔巴哈定理

$$ 反演是一种几何变换，对于一个以 $O$ 为中心，$r$ 为半径的反演变换，平面上除 $O$ 外任意一点 $A$ 均被变换成一点 $A^{\prime }$，$A^{\prime }$ 在射线 $OA$ 上且 $O{A}^{\prime }\times OA=r^2$。

$$ 以 $O$ 为中心，$r$ 为半径的反演变换有如下性质：

• 若 $A$ 被变换成 $B$，则 $B$ 被变换成 $A$。
• 过 $O$ 的直线（不含点 $O$）被变换成它自身。
• 不过 $O$ 的直线被变换成一个过点 $O$ 的圆（不含点 $O$）。
• 不过 $O$ 的圆 $A$ 被变换成另一个圆 $B$，且该圆 $B$ 与圆 $A$ 以 $O$ 为中心位似。
• 若 $A$ 与 $B$ 的夹角（有向角）为 $\alpha$，则变换后 $A^{\prime }$ 与 $B^{\prime }$ 的夹角（有向角）为 $-\alpha$（反向保角性）。
• ……

$$ 反演的性质很好，但是二次曲线反演后不一定是二次曲线，在之后的章节会基于反演构建出配极变换的定义，二次曲线配极变换后一定是二次曲线。

$$ 接下来介绍九点圆（亦称欧拉圆）：

$$ 如图，对于 $\mathrm{△}ABC$ 的九点圆指：同时过 $\mathrm{△}ABC$ 各边中点、各点到对边的投影、各点与垂心连线的中点这九点的圆。

$$ 记 $M_x$ 表示 $X$ 的对边的中点，$H_x$ 表示 $X$ 到其对边的投影，做圆 $O$ 过 $M_a,M_b,M_c$ 三点，考虑证明 $H_x(x=a,b,c)$ 均在圆 $O$ 上：
$$ 连接 $M_a{M}_c,M_a{M}_b,G_a{M}_c,G_a{M}_b$，则 $M_a{M}_c\parallel A{M}_b$ 且 $M_a{M}_c=A{M}_b$，故 $\mathrm{\angle }{M}_b{M}_a{M}_c=\mathrm{\angle }BAC$。因为 $A{G}_a\perp BC,A{M}_c=B{M}_c,A{M}_b=C{M}_b$，则 $A{M}_c=G_a{M}_c,A{M}_b=G_a{M}_b$，即 $\mathrm{\angle }A{G}_a{M}_c=\mathrm{\angle }BA{G}_a,\mathrm{\angle }A{G}_a{M}_b=\mathrm{\angle }CA{G}_a$，则 $\mathrm{\angle }{M}_b{G}_a{M}_c=\mathrm{\angle }A{G}_a{M}_c+\mathrm{\angle }A{G}_a{M}_b=\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }{M}_b{M}_a{M}_c$，即 $M_a,M_b,M_c,G_a$ 共圆。同理，$M_a,M_b,M_c,G_b$ 与 $M_a,M_b,M_c,G_c$ 均共圆。
$$ 记 $H$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 的垂心，则 $\mathrm{△}ABH$ 各点到其对边的投影也分别为 $H_a,H_b,H_c$，故 $\mathrm{△}ABC$ 与 $\mathrm{△}ABH$ 的九点圆重合，即 $\mathrm{△}ABC$ 的九点圆过 $AH$ 与 $BH$ 的中点。同理，其也过 $CH$ 的中点。

$$ 接下来证明 Feuerbach 定理：

$\mathbf{Theorem}\mathbf{2.1}\mathbf{(}\mathbf{Feuerbach}\mathbf{)}\mathbf{.}$ 如下图，对于 $\mathrm{△}ABC$，其九点圆与它的内切圆和旁切圆均相切（对于等边三角形，其九点圆与内切圆重合）。

（开坑待补）