学习笔记 【启发式合并】
启发式合并
前言
启发式合并十分得神奇，如果不刻意去想可能几乎想不到这种优化方法，但是在某些时刻看似是暴力的代码套上这几个字再加上证明复杂度，就能缩一圈，但没有模板，代码因题而异，十分灵活。
概念简述
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对于 \(n\) 个初始大小为1的可重集，每次选择（被动）两个集合合并时，每次将 \(S_1\) 与 \(S_2\) 合并的代价是其中一个集合的大小，而目的时合并成 \(1\) 个可重集的最小代价。
每次合并，很显然的一种贪心方法是将较小的集合合并到较大的集合，复杂度为 \(O(\min(S_1,S_2))\) ，而最后的时间复杂度的阶也很神奇，是 \(O(n\log_2n)\)。
证明
观察每次合并操作将较小的集合合并到较大的集合，而每个元素只有在较小的集合才会产生贡献，但每次合并操作对于较小的集合都会扩大一倍，而对于刚开始的大小为 \(1\) 的集合，最多会带此元素作为较小的集合扩大 \(\lfloor\log_2n\rfloor\) 次，而每个元素扩大 \(\lfloor\log_2n\rfloor\) 次后复杂度为 \(O(n\log_2n)\) ，对于随机数据完全达不到这个上限，我们还是保守的将其估计为此。
例题
（持续更新ing）
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树上启发式合并模板题。
将问题转换到了树上，其实就是规定了每次操作合并的两个可重集。
在 DFS 遍历到某个节点的时候保留一颗最大的子树的答案，再将其它兄弟子树所有节点后合并到那颗最大的子树的答案中，得到父亲节点的答案。
在一个节点中，每次对于要合并的子树大小最少扩大一倍，而对于某个节点，它在较小的子树中合并产生贡献为包括它的所有子树的合并次数，而这个合并次数不超过 \(\log_2n\) ，因此合并次数也是不超过 \(O(n\log_2n)\) （对于随机数据十分得松）。
