数字图像处理基础

成像模型

基本图像模型

使用二维函数f(x,y)表示图像。其值与物理源辐射的能量成正比，因此是非负有限的。

0 ≤ f(x,y) < ∞

f(x,y)= i(x,y) r(x,y)

i(x,y)：入射分量，0 ≤ i(x,y) < ∞，光线照射在观察场景的照射量，取决于照射源。

r(x,y)：反射分量，0 ≤ r(x,y) ≤ 1，场景中物体反射的照射量，限制在0（全吸收）和1（全反射）之间，取决于被成像物体的特性。

扩展到单色图像

l=f(x,y)

L_min ≤ l ≤ L_max。

L_min =i_minr_min。

L_max =i_maxr_max。

区间[L_min,L_max]称为灰度级。实际工作中区间表示为[0,1]或[0,C]，l=0表示黑色，l=1（或C）表示白色。

 

分辨率

空间分辨率是图像中最小可辨别细节的测度，通常使用 点数/英寸（dpi）表示。

灰度分别率是在灰度级中可分辨的最小变化

 

图像内插

将一张小图像放大时，通常会使用内插。如将500 x 500的图片放大到1000 x 1000。

最邻近内插法

图片本身包含了像素，但是不足以填充展示区域。空白的屏幕点采用周围像素点最邻近的一个像素来填充。

优点

简单。

缺点

失真严重。

双线性内插

v(x,y)=ax + by + cxy +d

假设v(x,y)为空白像素点。使用4个最近邻的灰度来计算空白位置的灰度。

四个系数有(x,y)的四个最近邻点给出的四个未知方程求出。

优点

比最近邻内插法更优

缺点

计算量增大。

双三次内插

16个系数可用点(x,y)的16个最近邻的点写出的16个未知方程求出。

Adobe PhotoShop 和 Corel Photopaint中常用。

 

像素间基本关系的表示

邻域表示

4邻域：上下左右，N₄(p)表示p的4邻域。

8邻域：上下左右，左上，右上，左下，右下，N₈(p)表示p的8邻域。

N_D(p)：表示处于p的对角上。

 

邻接表示

V是用于定义邻接的灰度值集合。

4邻接：q在集合N₄(p)中，q是p是4邻接的。

8邻接：q在集合N₈(p)中，q是p是8邻接的。

m邻接：q在p的N₄(p)中，或，q在p的N_D中，且p的N₄相交q的N₄为空。

判断方法

4邻接一定是m邻接，但8邻接不一定是m邻接，若p和q属于8邻接，但p和q周围存在一个r，使得p和q都是r的4邻接，那么不是m邻接。

图1，p和r属于8邻接，但是不属于m邻接，因为周围存在一个q，使得p和r是q的4邻接

图2，p和q属于8邻接，也属于m邻接，周围不存在像素点使得p和q是其4邻接，q和r同理。

图3，p和q和r是4邻接，也属于m邻接。

通路

假设存在像素序列：p(x₀,y₀),r(x₁,y₁),...,q(x_n,y_n)，序列中像素是两两邻接的。

此时p到q之间存在通路。如果起始点像素p(x₀,y₀)与终止点像素q(x_n,y_n)相同，称为闭合通路。

 对于像素集合S中的任意像素p，在S中连接到p的像素集称为S的连通分量，连通分量只有一个，集合S称为连通集。

区域

令R表示图像中的一个子集，若R是一个连通集，则R为图像的一个区域。两个区域联合形成一个连通集时，两个区域互为邻接区域。

边界

区域R的边界是R中与R的补集中像素相邻的一些像素。就是与自身补集的边界。

相关运算

线性运算

假设存在算子H，对输入图像f(x,y)产生输出图像g(x,y)：

若给定任意两个常数a和b，以及任意两幅图像f₁(x,y)和f₂(x,y)，若：

则称H是线性算子

最大值算子的线性证明

结果不满足线性运算的等式，所以最大值算子不是线性运算。

算术运算的应用

使用图像相加（平均）降低噪声

使用图像相减比较图像

使用图像相乘\相除矫正阴影和模板。

空间运算

单像素运算

s=T(z)

z是原图像中的像素灰度，s是处理后图像中对应像素。

邻域运算

S_xy为图像f中任意一点(x,y)为中心的一个邻域的坐标集合。r和c是像素的行坐标和列坐标，坐标属于集合S_xy。

几何变换

(x,y)是原图像中的像素坐标，(x',y')是变换后图像中像素的坐标。例如(x',y')=(x/2,y/2)在空间方向上将原图像缩小一半。

仿射变换

包括缩放变换，平移变换，旋转变换，剪切变换等等，仿射变换用齐次坐标来表示：

仿射变换矩阵：

图像配准

任务定义

给定输入图像和参考图像，目标是对输入图像做集合变换，使输出图像与参考图像对齐（配准）。

解决方法

采用约束点（控制点）。约束点是其精确位置在输入图像和参照图像中已知的对应点。

例如在输入图像和参考图像中都有4个约束点，基于双线性近似的一个简单模型，有如下式子：

x=c₁v+c₂w+c₃vw+c₄

y=c₅v+c₆w+c₇vw+c₈

(v,w)和(x,y)分别是输入图像和参照图像中约束点的坐标。

估计阶段

如果2幅图像中有4对对应的约束点，那么就有8个方程，8个未知数c₁,...,c₈。

配准阶段

用算出的参数和式子，以待配准图像(v,w)为输入像素，计算输出(x,y)像素。

但是配准不一定完美，导致这原因之一就是手工选择约束点时存在的误差。

 

向量相关运算

RGB图像

每一个像素z都有三个分量：

z₁,z₂,z₃分别为红绿蓝三色的灰度。

运算

内积运算

对应分量相乘再相加

a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n

欧几里得向量范数

内积平方根视为向量z的长度

欧几里得距离

点（向量）z和a之间的欧几里得距离D(z,a)

两向量之差的欧几里得向量范数

 

 

图像变换

图像的线性处理

g=Hf+n

f是输入图像MN x 1向量，n是M x N噪声的MN x 1向量，g是处理后得图像的MN x 1向量。H表示对输入图像进行线性处理的MN x MN矩阵

变换核

f(x,y)是输入图像，r(x,y,u,v)是正变换核，u，v为变换变量，T(u,v)称为f(x,y)的正变换，s(x,y,u,v)是反变换核。

变换核的性质

可分离性：r(x,y,u,v)=r₁(x,u) r₂(y,v)

对称性：r(x,y,u,v)=r₁(x,u) r₁(y,v)

傅里叶变换核

离散傅里叶变换对

图像灰度和随机变量

令z_i，i=0,1,2,...,L-1表示一幅M x N数字图像中所有可能的灰度值

灰度概率

灰度级z_k在图像中出现的概率为：

n_k是灰度级z_k在图像中出现的次数，MN是像素总数

很明显，所有灰度级出现的概率总和为1：

均值灰度

均值灰度（灰度的平均值），每个像素乘以其出现概率

灰度方差（灰度偏离平均值的程度）