最小树形图(朱刘算法)
不好意思 时间比较短,下面应该还会有修订的= = , 那段话是我复制过来的,觉得挺好的就用一下.
下面是讲解(不理解一的时候 , 可以看看二 ,结合图片):
一: 最小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是 1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进 行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小 入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这 个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。
二: 最开始的图，把所有的最小入边都累加到ret里。至于为什么，因为这样才能保证所得的ret有可能是最小树形图的解，当然，是在这些最小入边集合不行成环得情况下。
如果有了环，ret肯定不是最终答案，因为环中间有的边需要删掉，而且环之间也要连接起来。现在我们无法得知删除环中的哪些边才行。这就需要建立新图了。
举个例子：某个图的部分图中， 1->2权值为3， 2->1权值为4， 3->1权值为9， 4->2权值为7。 那么可以看到，结点1和结点2是形成了一个环的。我们仅从其大小不知道删除哪条边比较好，这时看到3->1权值为9， 如果走这条边，那么接下来只能删除掉2->1这条边，同理走4->2的话就要删除掉1->2这条边。 那么就不妨建立新图， 将1和2缩成一点，3->1的权值就变成了9-4=5， 4->2的权值变成了7-3=4。 这样的话，就相当于变相删除了不需要走的边了。形成新图后，又变成了最小树形图的求解，就这样循环下去，直到图中的最小边集没有环为止。
下面是模板代码:
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <cstdio> 4 5 using namespace std; 6 const int MAXN = 1e4 , INF = 1e8; 7 int d[MAXN] , id[MAXN] , vis[MAXN] , pre[MAXN]; //d:除root点外每个点的最小入边 id:下一次建图新的节点号 vis:用来判断是否成环 下面程序见 pre:点的前序节点 8 int V , E; // V:点的个数 E:边的个数 9 struct node { 10 int u , v , cost; //边的起点 终点 以及长度 11 }edge[MAXN]; 12 13 int zhuliu(int root) { 14 int res = 0; //最小树形图的长度 15 while(true) { 16 for(int i = 0 ; i < V ; i++) { 17 d[i] = INF; 18 } 19 for(int i = 0 ; i < E ; i++) { //寻找最小入边 20 int u = edge[i].u , v = edge[i].v; 21 if(u != v && edge[i].cost < d[v]) { 22 pre[v] = u; 23 d[v] = edge[i].cost; 24 } 25 } 26 for(int i = 0 ; i < V ; i++) { 27 if(i != root && d[i] == INF) { //除了root之外 有别的点无最小入边 28 return -1; 29 } 30 } 31 int cont = 0; 32 memset(id , -1 , sizeof(id)); 33 memset(vis , -1 , sizeof(vis)); 34 d[root] = 0; 35 for(int i = 0 ; i < V ; i++) { //找环 36 res += d[i]; 37 int v = i; 38 //vis[v] == i 表明找到一个环 id[v] != -1 表明这个点在循环中已经被下面的操作缩点(在环中) v == root 说明寻找到了根节点 39 while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) { //每个点寻找前序节点 要么找到根部 要么找到一个环 40 vis[v] = i; 41 v = pre[v]; 42 } 43 if(v != root && id[v] == -1) { //成环 缩点 44 for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u]) { 45 id[u] = cont; 46 } 47 id[v] = cont++; 48 } 49 } 50 if(cont == 0) { //无环 break 51 break; 52 } 53 for(int i = 0 ; i < V ; i++) { 54 if(id[i] == -1) { //没有成环的点 55 id[i] = cont++; 56 } 57 } 58 for(int i = 0 ; i < E ; i++) { //重新建图 重新标记 59 int u = edge[i].u , v = edge[i].v; 60 edge[i].u = id[u] , edge[i].v = id[v]; 61 if(id[v] != id[u]) { 62 edge[i].w -= d[v]; //理解上面的文字描述 > . < !(特别是二) 63 } 64 } 65 V = cont; 66 root = id[root]; //新的根 67 } 68 } 69 70 int main() 71 { 72 73 }
写的(盗用的)有些匆忙...
