格路计数学习笔记

格路计数学习(抄写)笔记

$2$ $\operatorname{Dyck}$ 路

$2.1$ 格路

​ 定义 2.1 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，平面格路是指从 一个格点到另一格点只走格点的路，格路的长度是指其所走的路的步数。

$2.2$ 自由路

​ 定义 $2.2$ 对于一条从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的格路，若只使用上步 $U = (0,1)$ 和右步 $L = (1,0)$，则我们称其为 $(n,m)$ 自由路。

​ 定理 $2.1$ 记 $F(n,m)$ 为 $(n,m)$ 自由路的数量，$\mathcal{F}(n,m)$ 为 $(n,m)$ 自由路的数量，则 $F(n,m) = \binom{n+m}{n}$。

$2.3$ $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路的计数

​ 定义 $2.3$ 对于一条从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的自由路，若其始终不经过对角线 $y = \frac{m}{n}x$ 下方，则我们称之为 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路。

​ 记 $D(n,m)$ 为 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路的数量，记 $\mathcal{D}(n,m)$。

​ 考虑一条 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路对应的 $LU$ 序列。

​ 定义 $2.4$ 对于从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的 $2$ 条格路 $(P,Q)$ ，其中 $P = u_1u_2 \cdots u_{n+m}$，$Q = v_1v_2 \cdots v_{n+m}$ $(u_i,v_i \in \{L,U\})$。若 $\exist i,u_{i+1} \cdots u_{n+m}u_1 \cdots u_i=Q$，则我们称格子 $P,Q$ 等价（即循环同构）。将 $P$ 的等价路全集记为 $[P]$。

​ 定义 $2.5$ 对于任意格路 $P$ ，记 $P_k = u_{k+1}u_{k+2} \cdots u_{n+m}u_1 \cdots u_k$。则 $[P] = \{P_k | k =1,2,3,\cdots , n+m\}$。定义 $P$ 的 周期 为使得 $P = P_k$ 的最小数 $k$ ，用 $period(P)$ 表示，则显然有 $\#[P] = period (P)$。

​ 引理 $2.1$ 若 $(n,m)=1$，则 $\forall P \in \mathcal{F}(n,m)$，有：

$$period(P) = n + m$$

​ 证明：

​ 显然有 $period(P) \leq n + m$。考虑反证法：

​ 若 $period(P) < n + m$，设为 $r$。设 $n + m = ar + b$ $(b < r)$。

​ 则由定义得 $P = P_r = P_{2r} = \cdots = P_{ar}$。所以有 $P_b = P$，则推出 $b = 0$。又因为 $r < n + m$ ， 所以 $a > 1$。

​ 因为 $a>1$，所以 $a | n$ 且 $a | m$，与 $(n,m)=1$ 矛盾，所以 $period(P) = n + m$。

​ 引理 $2.2$ 当 $n$ 和 $m$ 互质时，$[P]$ 有且仅有一条 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路。

​ 证明：

​ 首先证明存在性：

​ 若 $P$ 不是一条 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路，则其一定存在一个点在对角线下方。设这些点当中离对角线最远 的点是 $v$，从这个位置断开，将 $P$ 分为两个子路 $L_1,L_2$。则 $P$ 可以表示为 $P = L_1L_2$。构建一条新 的格路 $P'=L_2L_1$，则 $P'$ 显然是一条 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路。

​ 然后证明唯一性：

​ 容易发现，我们只需要证明对角线下方距离对角线最远的点有且只有一个。

​ 设两点距离对角线距离相同，则这两点形成直线与对角线斜率 $\frac{m}{n}$ 相同。由 $n,m$ 互质可知对角线 下方不存在这样的两个整点。

​ 由上述两个引理我们就可以立刻得出：

​ 定理 $2.2$ 当 $(n,m)$ 互质时，$\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路的数量为：

$$D(n,m) = \frac{1}{n+m} \binom{n+m}{n}$$

$2.4$ 有 $k$ 个峰的 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路计数

​ 定义 $2.6$ 对于一条从 $(0, 0)$ 到 $(n, m)$ 的自由路中的连续两步，若其为 UL，则我们称之为一个峰；若其为 LU，则我们称之为一个谷。

​ 定理 $2.3$ 记 $\mathcal F (n,m;k)$ 为所有有恰好 $k$ 个峰的 $(n,m)$ 自由路的集合，$F(n,m;k) = \# \mathcal F(n,m;k)$。则从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的 $k$ 个峰的自由路数量为：

$$F(n,m;k) = \binom{n}{k}\binom{m}{k}$$

​ 这个很好理解，相当于在 $n$ 个 L 中选择 $k$ 个作为峰，在 $m$ 个 U 作为峰，这两部分显然是独立的。每一种选法都能够对应一种方案。

​ 定理 $\mathrm {2.4}$ 记 $\mathcal F^{UL} (n,m;k)$ 为所有有恰好 $k$ 个峰，且首步为 $U$，末步为 $L$ 的 $(n,m)$ 自由路的集合，$F^{UL}(n,m;k) = \# \mathcal F^{UL}(n,m;k)$。则有：

$$F^{UL} = \binom{n-1}{k-1} \binom{m-1}{k-1}$$

​ 起始的一段 U 一定会与后面形成一个峰，结尾的一段 L 一定会和前面形成峰。那么这个公式就是易于理解，显然成立的。注意到他这么定义的动机就是要引入不能越过对角线的限制了。

​ 定理 $2.5$ 记 $\mathcal D(n,m;k)$ 为所有有恰好 $k$ 个峰的 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路的集合，$D(n,m;k) = \# \mathcal D(n,m;k)$。则当 $n,m$ 互质时，恰有 $k$ 个峰的 $\operatorname{(n,m)-Dyck}$ 路的个数为：

$$D(n,m;k) = \frac{1}{k} \binom{n-1}{k-1}\binom{m-1}{k-1}$$

​ 证明：

​ 对于任意格路 $P \in \mathcal F^{UL}(n,m;k)$ ，其恰好有 $k - 1$ 个谷，我们将其断开分成若干子路。则有 $P = L_1L_2 \cdots L_k$。

​ 与 引理 $2.1$ 类似，将 $L$ 看做元素，$P$ 的 周期 为 $k$。

​ 因此每条 $\operatorname {Dyck}$ 路的每个峰唯一对应 $\mathcal F^{UL}(n,m;k)$ 中的一个元素。 同样的，我们这样的格路也找 到离对角线最远的点切开，交换两端。这个最远的点一定是谷。所以每个 $\mathcal F^{UL}(n,m;k)$ 中的元素都可以 唯一对应 $\operatorname {Dyck}$ 路中的一个峰。所以这个公式显然成立。

$2.5$ $\operatorname {t-Dyck}$ 路计数

​ 定义 $2.7$ 对于一条从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的自由路，若其始终不经过对角线 $y = tx$ 下方，则我们称之为 $\operatorname{t-Dyck}$ 路。特别地，若 $m = tn$ ，则我们称之为 $n$ 阶 $\operatorname{t-Dyck}$ 路。

​ 注意，因为 $(n,tn) \not = 1$ ，所以不满足之前所述定理的使用条件。

​ 定理 $2.6$ 有 $k$ 个峰的 $n$ 阶 $\operatorname{t-Dyck}$ 路的个数是：

$$D(n,tn;k) = \frac{1}{k} \binom{n-1}{k-1}\binom{tn}{k-1}$$

​ 证明：

​ 记 $m = tn + 1$ ，则显然 $(n,m)=1$。带入 定理 $2.5$。

$$D(n,tn+1;k) = \frac{1}{k} \binom{n-1}{k-1}\binom{tn}{k-1}$$

​ 考虑 $\mathcal D(n,tn+1;k)$ 中的任意元素 $P$ ，因为 $\frac{tn+1}{n} > t \geq 1$ ，所以前两步必然为 U。则设去掉第一 个 U 的路径为 $P'$。

​ 因为 $\forall x \in \mathbb{Z}$ ，$tn \in \mathbb Z$。所以去掉第一个 U 不会使得 $P'$ 到 $y = tx$ 下方去。

​ 类似地，因为 $y=\frac{tn+1}{n}x$ 与 $y = tx$ 之间没有整点，所以加上一个 U 会让路径到 $\frac{tn+1}{n}x$ 上面去。

​ 因此两个集合一一对应。

​ 定理 2.7 $n$ 阶 $\operatorname {t-Dyck}$ 路的个数是：

$$D(n,tn) = \frac{1}{tn + 1} \binom{tn + n}{n}$$

	**证明：** 随便化一下式子，然后范德蒙德卷积易证。

​ 值得注意的是，卡特兰数本质就是 $n$ 阶 $\operatorname{t-Dyck}$ 路的 $t=1$ 的特殊情况。即 $D(n,n) = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$。

​ 定理 2.8 从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的有 $k$ 个峰的 $\operatorname{t-Dyck}$ 路的个数是：

$$D_t(n,m;k) = \frac{m+1-tn}{n} \binom{n}{k}\binom{m}{k-1}$$

​ 定理 2.9 从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的 $\operatorname{t-Dyck}$ 路的个数是：

$$D_t(n,m;k) = \frac{m+1-tn}{n+1} \binom{n+m}{n}$$

​ 证明比较复杂。论文也没写。有兴趣翻参考文献。

$2.6$ $\operatorname{Dyck}$ 路的另一种等价定义

​ $n$ 阶 $\operatorname{Dyck}$ 路是在 $x$ 轴上分以上步 $U_1 = (1,1)$ ，下步 $D = (1,-1)$ 从 $(0,0)$ 到 $(2n , 0)$ 的格路。这个很好理解。相当于将原格路旋转 $45^\circ$，然后做相应的缩放即可。

​ $n$ 阶 $\operatorname{t-Dyck}$ 路是在 $x$ 轴上方以上步 $U_t=(1,t)$，下步 $D=(1,-1)$，从 $(0,0)$ 到 $((t+1)n,0)$ 的格路。

​ $n$ 阶 $\operatorname{t-Dyck}$ 路的全体记作 $\tilde{\mathcal D_t}(n)$，$\tilde{D_t}(n) = \# \tilde{\mathcal D_t}(n)$。

​ $\tilde {\mathcal D_t}(n)$ 和 $\tilde D(n,tn)$ 之间存在双射。构造双射的一个方法如下：

​ 对于 $P$，我们将其倒序得到 $P'$，然后把 $L$ 替换为 $U_t$，$U$ 替换为 $D$ 即可。 这个还是可以利用将整个格子图旋转至对角线水平理解。

$3$ 不相交格路

$3.1$ $n$ 阶不交 $\operatorname{Dyck}$ 路计数

​ 定义 $3.1$ 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 的两条 $\operatorname{Dyck}$ 路 $P、Q$ 称为一个 $n$ 阶 $\operatorname{Dyck}$ 路对。若 $Q$ 始终不穿过 $P$，则 $(P,Q)$ 是一个 不交 $\operatorname{Dyck}$ 路对，否则称为 相交 $Dyck$ 路对。

​ 定理 3.1 $n$ 阶不交 $\operatorname{Dyck}$ 路对数为

$$\begin{vmatrix}C_n & C_{n+1} \\C_{n+1} & C_{n+2} \end{vmatrix}$$

​ 其中，$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$，是卡特兰数的第 $n$ 项。

​ 证明： 构造映射 $(P,Q) \rightarrow (\tilde{P} , \tilde Q)$，其中 $\tilde P = UUPLL$，$\tilde Q$ 为将 $Q$ 向 $(1,1)$ 平移一格后得到从 $(1,1)$ 到 $(n+1,n+1)$ 的 $\operatorname {Dyck}$ 路。那么 $(P,Q)$ 相交当且仅当 $(\tilde P,\tilde Q)$ 有交点。而且没有交点的 $\tilde P$ 一定满足开头是两个 U，结尾是两个 L。那么就是两个起点两个终点的 LGV 引理了。

​ 定理 3.2 $k$ 条 $n$ 阶不交 $\operatorname{Dyck}$ 路对数为

$$\det (C_{n-i-j})^k_{i,j=1} = \begin{vmatrix} C_{n-2}&C_{n-3} & \cdots& C_{n - k} & C_{n-k-1} \\C_{n-3}&C_{n-4} & \cdots& C_{n - k-1} & C_{n-k-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\C_{n-k-1} & C_{n-k-2} & \cdots & C_{n-2k-1} & C_{n-2k} \end{vmatrix}$$

​ 证明： 这个也可以直接平移起终点然后 LGV 证。

$3.2$ 不交自由路对计数

​ 定义 3.2 设 $P、Q$ 是两条自由路，如果 $Q$ 始终不穿越 $P$，则称 $(P, Q)$ 是从 $(0, 0)$ 到 $(n, m)$ 的两条不交自由路对，用 $F_{nc}$ 表示。如果 $P、Q$ 除了起点以及终点之外没有公共点，则称 $(P, Q)$ 是一个不接触自由路对，用 $F_{nt}$ 表示。

​ 定理 3.3 从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的不接触自由路对个数是

$$F_{nt}(n,m) = \frac{1}{n} \binom{n+m-1}{n-1} \binom{n+m-2}{n-1}$$

​ 证明： 想必不用证了，直接就是一个裸的 LGV，整理一下式子就是这个样子。

​ 定理 3.4 从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的不交自由路对个数是

$$F_{nc} (n,m) = \frac{1}{n+1} \binom{n+m+1}{n}\binom{n+m}{n}$$

​ 证明： 令 $P$ 在 $Q$ 上方，那么可以将 $P$ 向上平移一格，将 $Q$ 向右平移一格，那么不交就会变成接触。

​ 然后在 $P$ 最后加上一个 L，$Q$ 最后加上一个 U 补全就可以得到 $F_{nc}(n,m) = F_{nt}(n+1,m+1)$。