斯特林数笔记
第二类斯特林数
\[\begin{Bmatrix}
n \\
m
\end{Bmatrix}
\]
将 \(n\) 个数划入 \(m\) 个集合的方案数。
递推式易得：
\[\begin{Bmatrix}
n \\
m
\end{Bmatrix} =
m\begin{Bmatrix}
n - 1 \\
m
\end{Bmatrix} +
\begin{Bmatrix}
n - 1 \\
m - 1
\end{Bmatrix}
\]
通项公式
\[\begin{Bmatrix}
n \\
m
\end{Bmatrix} =
\sum^{m}_{i=0} \frac{(-1)^{m - i}i^n}{i!(m-i)!}
\]
容斥容易证明。（先转化两两不同，最后除以 \(m!\)）。
第一类斯特林数
\[\begin{bmatrix}
n \\
m
\end{bmatrix}
\]
表示把 \(n\) 个数分入 \(m\) 个非空环排列的方案数。
容易得到递推式：
\[\begin{bmatrix}
n \\
m
\end{bmatrix} =
(n - 1)\begin{bmatrix}
n - 1 \\
m
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
n \\
m - 1
\end{bmatrix}
\]
常用公式
\[x^n = \sum_{k} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline{k}}
\]
\[x^n = \sum_{k} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (-1)^{n - k} x^{\overline{k}}
\]
\[x^{\underline{n}} = \sum_{k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} (-1)^{n - k} x^k
\]
\[x^{\overline{n}} = \sum_{k} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^k
\]
以上归纳法易证。
斯特林反演
累了，不想证了。
\[f_n = \sum_{k=0}^n {n \brace k} g_k \iff g_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \brack k} f_k \\
f_n = \sum_{k=n}^m {k \brace n} g_k \iff g_n = \sum_{k=n}^m (-1)^{k-n} {k \brack n} f_k
\]
