CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

一道期望dp，推方程不是很难，计算边界才是本题的难点。

我们$A$表示选$a$的概率，$B$表示选$b$的概率。

我们由于选了$a$的个数与后面有极大关系，同时正序状态无穷无尽，所以我们考虑倒推回来，因此我们设$dp_{i,j}$表示已经选了$i$个$a$，$j$个$ab$了后面选$ab$的个数的期望。

很显然有dp式：

$dp_{i,j} = dp_{i+1,j} \times A + dp_{i,i+j} \times B$

现在考虑一波边界，当$j \leq k$但$k \leq i + j$时，$dp_{i,j}=i+j+ 0 \times B + 1 \times A \times B + 2 \times A^2 \times B + 3 \times A^3 \times B \dots$

使用一波我不会的错位相减法可以求出$dp_{i,j}=i+j+\frac{pa}{pb}$

最后是答案，考虑到开头是$b$时不但可以自我无限转移，甚至还对答案无影响，所以我们考虑第一个字母直接为$a$，所以答案为$dp_{1,0}$

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1005;
LL dp[MAXN << 2][MAXN << 2];
LL qpow(LL a , LL b) {
	LL res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main() {
	LL k , pa , pb;
	scanf("%lld %lld %lld" , &k , &pa , &pb);
	LL A = pa * qpow(pa + pb , mod - 2) % mod;
	LL B = pb * qpow(pa + pb , mod - 2) % mod;
	LL C = pa * qpow(pb , mod - 2) % mod;
	for (int i = 1; i <= k * 2; ++i) {
		for (int j = 0; j <= k * 2; ++j) {
			if(i + j >= k) dp[i][j] = (i + j + C) % mod;
		}
	}
	for (int i = k; i >= 1; --i) {
		for (int j = k; j >= 0; --j) {
//			if(i + j >= k) dp[i][j] = (i + j + C) % mod;
			if(i + j >= k) continue;
			dp[i][j] = (A * dp[i + 1][j] % mod + B * dp[i][i + j] % mod) % mod;
		}
	}
	printf("%lld" , dp[1][0]);
	return 0;
}