二叉树的基础总结
快速排序就是个二叉树的前序遍历，归并排序就是个二叉树的后序遍历
简单分析一下他们的算法思想和代码框架：
快速排序的逻辑是，若要对
nums[lo..hi]进行排序，我们先找一个分界点p，通过交换元素使得nums[lo..p-1]都小于等于nums[p]，且nums[p+1..hi]都大于nums[p]，然后递归地去nums[lo..p-1]和nums[p+1..hi]中寻找新的分界点，最后整个数组就被排序了。
快速排序的代码框架如下：
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
/****** 前序遍历位置 ******/
// 通过交换元素构建分界点 p
int p = partition(nums, lo, hi);
/************************/
sort(nums, lo, p - 1);
sort(nums, p + 1, hi);
}
先构造分界点，然后去左右子数组构造分界点，你看这不就是一个二叉树的前序遍历吗？
再说说归并排序的逻辑，若要对 nums[lo..hi] 进行排序，我们先对 nums[lo..mid] 排序，再对 nums[mid+1..hi] 排序，最后把这两个有序的子数组合并，整个数组就排好序了。
归并排序的代码框架如下：
void sort(int[] nums, int lo, int hi) {
int mid = (lo + hi) / 2;
sort(nums, lo, mid);
sort(nums, mid + 1, hi);
/****** 后序遍历位置 ******/
// 合并两个排好序的子数组
merge(nums, lo, mid, hi);
/************************/
}
先对左右子数组排序，然后合并（类似合并有序链表的逻辑），你看这是不是二叉树的后序遍历框架？另外，这不就是传说中的分治算法嘛
二叉树的算法思想的运用广泛，甚至可以说，只要涉及递归，都可以抽象成二叉树的问题
写递归算法的秘诀
写递归算法的关键是要明确函数的「定义」是什么，然后相信这个定义，利用这个定义推导最终结果，绝不要跳入递归的细节。
用一个具体的例子来说，比如说让你计算一棵二叉树共有几个节点：
// 定义：count(root) 返回以 root 为根的树有多少节点
int count(TreeNode root) {
// base case
if (root == null) return 0;
// 自己加上子树的节点数就是整棵树的节点数
return 1 + count(root.left) + count(root.right);
}
这个问题非常简单，大家应该都会写这段代码，root 本身就是一个节点，加上左右子树的节点数就是以 root 为根的树的节点总数。
左右子树的节点数怎么算？其实就是计算根为 root.left 和 root.right 两棵树的节点数呗，按照定义，递归调用 count 函数即可算出来。
写树相关的算法，简单说就是，先搞清楚当前 root 节点该做什么，然后根据函数定义递归调用子节点，递归调用会让孩子节点做相同的事情。
经典例题
翻转二叉树
输入一个二叉树根节点 root，让你把整棵树镜像翻转，比如输入的二叉树如下：
4
/ \
2 7
/ \ / \
1 3 6 9
算法原地翻转二叉树，使得以 root 为根的树变成：
4
/ \
7 2
/ \ / \
9 6 3 1
通过观察，我们发现只要把二叉树上的每一个节点的左右子节点进行交换，最后的结果就是完全翻转之后的二叉树。
可以直接写出解法代码：
// 将整棵树的节点翻转
TreeNode invertTree(TreeNode root) {
// base case
if (root == null) {
return null;
}
/**** 前序遍历位置 ****/
// root 节点需要交换它的左右子节点
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
// 让左右子节点继续翻转它们的子节点
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}
二叉树题目的一个难点就是，如何把题目的要求细化成每个节点需要做的事情。
填充二叉树节点的右侧指针
题目的意思就是把二叉树的每一层节点都用 next 指针连接起来：
可以模仿上一道题，写出如下代码：
Node connect(Node root) {
if (root == null || root.left == null) {
return root;
}
root.left.next = root.right;
connect(root.left);
connect(root.right);
return root;
}
这样其实有很大问题，再看看这张图：
节点 5 和节点 6 不属于同一个父节点，那么按照这段代码的逻辑，它俩就没办法被穿起来，这是不符合题意的。
回想刚才说的，二叉树的问题难点在于，如何把题目的要求细化成每个节点需要做的事情，但是如果只依赖一个节点的话，肯定是没办法连接「跨父节点」的两个相邻节点的。
我们的做法就是增加函数参数，一个节点做不到，我们就给他安排两个节点，「将每一层二叉树节点连接起来」可以细化成「将每两个相邻节点都连接起来」：
// 主函数
Node connect(Node root) {
if (root == null) return null;
connectTwoNode(root.left, root.right);
return root;
}
// 辅助函数
void connectTwoNode(Node node1, Node node2) {
if (node1 == null || node2 == null) {
return;
}
/**** 前序遍历位置 ****/
// 将传入的两个节点连接
node1.next = node2;
// 连接相同父节点的两个子节点
connectTwoNode(node1.left, node1.right);
connectTwoNode(node2.left, node2.right);
// 连接跨越父节点的两个子节点
connectTwoNode(node1.right, node2.left);
}
将二叉树展开为链表
函数签名如下：
void flatten(TreeNode root);
我们尝试给出这个函数的定义：
给 flatten 函数输入一个节点 root****，那么以 root 为根的二叉树就会被拉平为一条链表。
我们再梳理一下，如何按题目要求把一棵树拉平成一条链表？很简单，以下流程：
1、将 root 的左子树和右子树拉平。
2、将 root 的右子树接到左子树下方，然后将整个左子树作为右子树。
按照 flatten 函数的定义，对 root 的左右子树递归调用 flatten 函数即可：
// 定义：将以 root 为根的树拉平为链表
void flatten(TreeNode root) {
// base case
if (root == null) return;
flatten(root.left);
flatten(root.right);
/**** 后序遍历位置 ****/
// 1、左右子树已经被拉平成一条链表
TreeNode left = root.left;
TreeNode right = root.right;
// 2、将左子树作为右子树
root.left = null;
root.right = left;
// 3、将原先的右子树接到当前右子树的末端
TreeNode p = root;
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
p.right = right;
}
写树的算法，关键思路如下：
把题目的要求细化，搞清楚根节点应该做什么，然后剩下的事情抛给前/中/后序的遍历框架就行了，我们千万不要跳进递归的细节里，你的脑袋才能压几个栈呀。
构造最大二叉树
先明确根节点做什么？对于构造二叉树的问题，根节点要做的就是把想办法把自己构造出来。
肯定要遍历数组把找到最大值 maxVal，把根节点 root 做出来，然后对 maxVal 左边的数组和右边的数组进行递归调用，作为 root 的左右子树。
按照题目给出的例子，输入的数组为 [3,2,1,6,0,5]，对于整棵树的根节点来说，其实在做这件事：
TreeNode constructMaximumBinaryTree([3,2,1,6,0,5]) {
// 找到数组中的最大值
TreeNode root = new TreeNode(6);
// 递归调用构造左右子树
root.left = constructMaximumBinaryTree([3,2,1]);
root.right = constructMaximumBinaryTree([0,5]);
return root;
}
对于每个根节点，只需要找到当前 nums 中的最大值和对应的索引，然后递归调用左右数组构造左右子树即可。
明确了思路，我们可以重新写一个辅助函数 build，来控制 nums 的索引：
/* 主函数 */
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
return build(nums, 0, nums.length - 1);
}
/* 将 nums[lo..hi] 构造成符合条件的树，返回根节点 */
TreeNode build(int[] nums, int lo, int hi) {
// base case
if (lo > hi) {
return null;
}
// 找到数组中的最大值和对应的索引
int index = -1, maxVal = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
if (maxVal < nums[i]) {
index = i;
maxVal = nums[i];
}
}
TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
// 递归调用构造左右子树
root.left = build(nums, lo, index - 1);
root.right = build(nums, index + 1, hi);
return root;
}
通过前序和中序遍历结果构造二叉树
，直接来想思路，首先思考，根节点应该做什么。
类似上一题，我们肯定要想办法确定根节点的值，把根节点做出来，然后递归构造左右子树即可。
找到根节点是很简单的，前序遍历的第一个值preorder[0]就是根节点的值，关键在于如何通过根节点的值，将preorder和postorder数组划分成两半，构造根节点的左右子树？
换句话说，对于以下代码中的?部分应该填入什么：
/* 主函数 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return build(preorder, 0, preorder.length - 1,
inorder, 0, inorder.length - 1);
}
/*
若前序遍历数组为 preorder[preStart..preEnd]，
后续遍历数组为 postorder[postStart..postEnd]，
构造二叉树，返回该二叉树的根节点
*/
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
// root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
return root;
}
对于代码中的rootVal和index变量，就是下图这种情况：
对于左右子树对应的inorder数组的起始索引和终止索引比较容易确定：
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, index + 1, inEnd);
对于preorder数组呢？如何确定左右数组对应的起始索引和终止索引？
这个可以通过左子树的节点数推导出来，假设左子树的节点数为leftSize，那么preorder数组上的索引情况是这样的：
看着这个图就可以把preorder对应的索引写进去了：
int leftSize = index - inStart;
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
再补一补 base case 即可写出解法代码：
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
if (preStart > preEnd) {
return null;
}
// root 节点对应的值就是前序遍历数组的第一个元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍历数组中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
int leftSize = index - inStart;
// 先构造出当前根节点
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 递归构造左右子树
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
return root;
}
通过后序和中序遍历结果构造二叉树
按照上述思路也可以写出来，只是索引位置和根节点位置判断发生了变化
如何判断我们应该用前序还是中序还是后序遍历的框架？
根据题意，思考一个二叉树节点需要做什么，到底用什么遍历顺序就清楚了。
第 652 题「寻找重复子树」
举例来说，比如输入如下的二叉树：
节点 4 本身可以作为一棵子树，且二叉树中有多个节点 4：
还存在两棵以 2 为根的重复子树：
我们返回的List中就应该有两个TreeNode，值分别为 4 和 2（具体是哪个节点都无所谓）。
这题咋做呢？还是老套路，先思考，对于某一个节点，它应该做什么。
比如说，你站在图中这个节点 2 上：
如果你想知道以自己为根的子树是不是重复的，是否应该被加入结果列表中，你需要知道什么信息？
你需要知道以下两点：
1、以我为根的这棵二叉树（子树）长啥样？
2、以其他节点为根的子树都长啥样？
我如何才能知道以自己为根的二叉树长啥样？
其实看到这个问题，就可以判断本题要使用「后序遍历」框架来解决：
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
traverse(root.right);
/* 解法代码的位置 */
}
我要知道以自己为根的子树长啥样，是不是得先知道我的左右子树长啥样，再加上自己，就构成了整棵子树的样子？
明确了要用后序遍历，那应该怎么描述一棵二叉树的模样呢?二叉树的前序/中序/后序遍历结果可以描述二叉树的结构。
我们可以通过拼接字符串的方式把二叉树序列化，看下代码：
String traverse(TreeNode root) {
// 对于空节点，可以用一个特殊字符表示
if (root == null) {
return "#";
}
// 将左右子树序列化成字符串
String left = traverse(root.left);
String right = traverse(root.right);
/* 后序遍历代码位置 */
// 左右子树加上自己，就是以自己为根的二叉树序列化结果
String subTree = left + "," + right + "," + root.val;
return subTree;
}
我们第一个问题就解决了，对于每个节点，递归函数中的subTree变量就可以描述以该节点为根的二叉树。
借助一个外部数据结构，让每个节点把自己子树的序列化结果存进去，这样，对于每个节点，不就可以知道有没有其他节点的子树和自己重复了么？
利用HashMap，额外记录每棵子树的出现次数：
// 记录所有子树以及出现的次数
HashMap<String, Integer> memo = new HashMap<>();
// 记录重复的子树根节点
LinkedList<TreeNode> res = new LinkedList<>();
/* 主函数 */
List<TreeNode> findDuplicateSubtrees(TreeNode root) {
traverse(root);
return res;
}
/* 辅助函数 */
String traverse(TreeNode root) {
if (root == null) {
return "#";
}
String left = traverse(root.left);
String right = traverse(root.right);
String subTree = left + "," + right+ "," + root.val;
int freq = memo.getOrDefault(subTree, 0);
// 多次重复也只会被加入结果集一次
if (freq == 1) {
res.add(root);
}
// 给子树对应的出现次数加一
memo.put(subTree, freq + 1);
return subTree;
}
这道题就完全解决了，主要还是要利用HashMap来存储每个节点的子树的序列化的字符串，这样方便查找是否有相同重复的
