4_树

 树是n(n≥0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中：

（1）有且仅有一个特定的称为根的结点；

（2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

 

 

 

树作为一种逻辑结构，显然是一种递归的结构，同时也是一种分层结构。

 

性质：

1、n个结点的树中有n-1条边

2、树中结点数等于所有结点度数加1

3、度为m的树中第i层上至多有m^i-1个结点（i>=1）（即算作每个结点的度为m，这样多一层便多一次方倍(除去第一层根结点所以-1)）

4、高度为h的m叉树至多有(m^h-1)(m-1)个结点。(m^h+m^h-1+...+m+1=(m^h-1)(m-1))

5、具有n个结点的m叉树的最小高度为 log_m^(n(m-1)+1)  (推理不出，死记)

 

基本操作：

插入类：初始化置空、按定义创建、结点赋值、插入树作为子树

删除类：树清空、销毁结构、删除结点的子树 

查找类：根结点、当前结点、当前结点双亲结点、当前节点左/右子节点、当前节点最左/右子结点、、判空、求深、遍历

 

二叉树

特殊二叉树：满二叉树、完全二叉树、二叉排序树、平衡二叉树 

 

性质：

1、二叉树上子结点数等于度为2的结点数加1

2、1)二叉树的第 i 层上至多有个结点

     2)深度为 k 的二叉树上至多含 个结点

4、1)具有 n 个结点的完全二叉树的深度为

      2)结点 i 所在的深度为log₂ⁱ+1。

5、完全二叉树标上顺序编号，则对其中任意一个编号为 i 的结点：

      1）若 i=1，则该结点是二叉树的根无双亲，否则有双亲，偶为左子奇为右子，编号 i/2 或  (i-1)/2 的结点分别为双亲结点；

      2）若2i>N或2i+1>N，i分别无左子或右子，否则结点 i 的左子为2i或右子为2i+1;

      

顺序存储结构

适用满二叉树和完全二叉树，对于一般二叉树就用0来表示没有结点的位置

注意：数组下标从1开始，二叉树的顺序存储与树的顺序存储之间关系

链式存储结构

 

二叉树遍历

二叉树的应用是在遍历为基础上，进行查找、添加、删除，与线性表的应用的分类上不大一样。

 

前序遍历 中序遍历 后序遍历 

非递归遍历：非递归遍历(栈) 层次遍历(队列)

应用：输入结点值，构造二叉树 (先序遍历） 统计二叉树中叶子结点的个数 (先序遍历)   求二叉树的深度 (后序遍历) 

 

线索二叉树

    二叉树的指针域是结点数的2倍，n个结点的二叉树有2n个指针域，有n-1条边(除了根结点外每个结点都有一条边指向)，即有n-1个含边的非空指针域，由此空指针域可由指针域与非空指针域做差得到：2n-(n-1)=n+1 个，且存在于叶结点。

    利用这些空结点一方面避免存储资源浪费，更重要的另一方面，在二叉树链表上仅知道每个结点的左右子，若每次想知道某结点前驱后继就需要遍历一次，利用这些空指针域做线索化就能将二叉树转化为一个双向链表，对查找、插入、删除结点带来了方便。

    为此增设两个标志域ltag和rtag存放bool值(占内存小于指针变量lchild和rchild)。

 

树、森林

树的存储结构：

双亲表示法(带指针域的数组，每个元素(结点)指针域指向自己的双亲结点)、便于寻找结点双亲，寻找子女需遍历

孩子表示法(在双亲表示法基础上，将指针域改为指向自己的子结点，并且被指向的结点具有同样结构，同样地其指针域同样指向自己子结点，这样就形成了自上而下的链表，第一列为头结点，没有子结点的结点指向NULL)、便于寻找结点子女，寻找双亲需遍历

以上两种方法可以合二为一 

孩子兄弟表示法(二叉树结点链，只不过左指针指向左边第一个孩子，右指针指向自己的右边下一个兄弟，从根结点开始)、方便转化为二叉树，易于查找结点子女，缺点是难找双亲，可以每个结点加一个parent域指向其双亲来解决

 

树、森林与二叉树的转化

1.孩子兄弟法使森林中每棵树—>二叉树。2.以第一棵树的二叉树作为根结点树，然后依次接上左子

 

孩子兄弟表示法可以将普通树转化成二叉树存储，在实际操作中，可以应用二叉树的性质来解决普通树或者森林的问题。

 

 树的应用—并查集