省选模拟题解

合集 - 题解(8)

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$T1$ 题解

题意：有一张 $n$ 个点的有标号无向图，分为了 $k$ 个连通块，第 $i$ 个连通块的大小是 $s_i$，每个连通块都是完全图（节点之间两两有边）。要加 $k-1$ 条边使得图连通，计算所有连边方案的权值和。假设第 $i$ 个连通块被多加了 $d_i$ 条边，那么该连边方案的权值为 $\prod\limits_{i=1}^kd_i!$

$sol$：首先把原图看成缩点后的一棵树，假设现在 $d$ 序列已经确定了对应的权值也就确定了。但是对应了多种树的形态。要求一个确定的 $d$ 序列对应了多少种树的形态，转化为求 $prufer$ 序列的个数即：

$$\frac{(k-2)!}{\prod\limits_{i-1}^k(d_i-1)!}$$

但是原图中第 $i$ 个连通块连的边有 $s_i$ 个点可以选择去连所以一个确定的 $d$ 序列在原图中对应的连边方式为：

$$\frac{(k-2)!}{\prod\limits_{i-1}^k(d_i-1)!}\times\prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i}$$

贡献为：

$$\frac{(k-2)!}{\prod\limits_{i-1}^k(d_i-1)!}\times\prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i}\times\prod\limits_{i=1}^kd_i!\\ $$

$$=(k-2)!\times\prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i}d_i$$

然后$(k-2)!$ 是个定值，后面的考虑 $DP$ ，我们设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个连通块 $\sum\limits_{l=1}^i d_l=j$ 的 $\prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i}d_i$ 这个值。显然 $f_{1,j}=j\times s_1^j$ 转移也很简单：

$$f_{i,j}=\sum\limits_{t=1}^{j-1}t\times s_i^t\times f_{i-1,j-t}$$

但是这个是$O(k^3)$ 的，考虑怎么优化，我们试着把$f_{i,j}$ 拆一下。

$$f_{i,j-1}=s_i\times f_{i-1,j-2}+2s_i^2\times f_{i-1,j-3}+3s_i^3\times f_{i-1,j-4}……\\ $$

$$f_{i,j}=s_i\times f_{i-1,j-1}+2s_i^2\times f_{i-1,j-2}+3s_i^3\times f_{i-1,j-3}……\\ $$

$$f_{i,j+1}=s_i\times f_{i-1,j}+2s_i^2\times f_{i-1,j-1}+3s_i^3\times f_{i-1,j-2}……\\ $$

我们把 $f_{i,j-1}$ 乘一个系数 $s_i$ ，把 $f_{i,j+1}$ 乘上一个系数 $\frac{1}{s_i}$ 就会发现一件神奇的事情！

$$s_if_{i,j-1}=0\times f_{i-1,j}+0\times f_{i-1,j-1}+s_i^2\times f_{i-1,j-2}+2s_i^3\times f_{i-1,j-3}……\\ $$

$$f_{i,j}=0\times f_{i-1,j}+s_i\times f_{i-1,j-1}+2s_i^2\times f_{i-1,j-2}+3s_i^3\times f_{i-1,j-3}……\\ $$

$$\frac{1}{s_i}f_{i,j+1}=1\times f_{i-1,j}+2s_i\times f_{i-1,j-1}+3s_i^2\times f_{i-1,j-2}+4s_i^3\times f_{i-1,j-3}……\\ $$

然后我们就可以抵消掉一大堆东西得到：

$$s_if_{i,j-1}+\frac{1}{s_i}f_{i,j+1}=2f_{i,j}+f_{i-1,j}\\ $$

$$f_{i,j+1}=2s_if_{i,j}+s_if_{i-1,j}-s_i^2f_{i,j-1}\\ $$

换一下元

$$f_{i,j}=2s_if_{i,j-1}+s_if_{i-1,j-1}-s_i^2f_{i,j-2}$$

然后就可以 $O(k^2)$ 递推了。
code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=7005,mod=998244353;
inline ll rd()
{
	ll f=1;char c;
	while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') f=-1;
	ll x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar())) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	return f*x;
}
ll n,k,fac[N]={1},g[N],s[N];
int f[N][N<<1]; 
int main()
{
	n=rd(),k=rd();ll d=2*(k-1);
	for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,s[i]=rd();g[0]=1;
	for(int i=1;i<=d;i++) g[i]=g[i-1]*s[1]%mod;
	for(int i=1;i<=d;i++) f[1][i]=g[i]*i%mod;
	for(int i=2;i<=k;i++)
		for(int j=i;j<=d;j++)
			f[i][j]=(2*s[i]*f[i][j-1]%mod-s[i]*s[i]%mod*f[i][j-2]%mod+s[i]*f[i-1][j-1]%mod+mod)%mod;
	cout<<(1ll*f[k][d]*fac[k-2]%mod+mod)%mod<<endl;
	return 0;
}