Manci的序列题解

合集 - 题解(8)

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$Menci$ 的序列

题意：你有一个长为 n 的序列，每个位置是 * 或者 +，* 表示让变量 $\times 2$，+ 表示让变量 $+1$。现在你要选出它的一个子序列，使得一个初始为 0 的变量在对子序列中的字符依次执行对应操作后对 $2^k$ 取模所得结果尽可能大。求出最大可能的结果。

$sol$：比较显然的一点，最后的值为$\sum 2^{c_i}$， $c_i$ 表示一个加号后面乘号的个数。于是可以先考虑一种非常简单的特殊情况：任意两个乘号之间最多只有一个加号。可以从前往后直接贪心做，最开始填第 $k-1$ 位，如果乘号不够就填第 $k-2$ 位，如果足够就填 $1$ 再考虑之后的加号，以此类推可以得到最优解。但是现在原问题两乘号之间会有多个加号，可以用二进制分组的思路，因为一个加号后有 $x$ 个乘号相当于两个加号后有 $x-1$ 个加号。

这里略微比较复杂，举一个例子原序列为+++ 可替换为 +*+ ，具体的，原序列选 + 等价于新序列选 + ,原序列选 ++ 等价于新序列选 +* 原序列选 +++ 等价于新序列选 +*+ 。所以我们可以把后面有 $i$ 个乘号的加号每两个换成一个后面有 $i+1$ 的加号，但是不能全部转完，需要留下 $1-2$ 个，否则原序列某些选择在新序列中找不到对应的选法。

就这样我们把原序列转化成了连续加号个数不超过 $2$ 个的特殊序列。只有一个的情况上面已经讲了，而两个也差不多，具体的，处理时如果前一位需要填 $1$ 但没有加号了可以临时进位，否则就只需要在这一位填 $1$ 即可。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
inline int rd()
{
	char c;int f=1;
	while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=-1;
	int x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	return x*f;
}
int a[N],ans[N],t,cnt,k,n,m,p;
char s[N];
int main()
{
	n=rd(),k=rd();
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=n;i;i--)
        if(s[i]=='*') a[++cnt]=0;
		else a[cnt]++;
    for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		if(!a[i]) continue;
        t=(a[i]-1)/2;
        a[i]-=2*t,a[i+1]+=t;
    }
    p=k-1;
    for(int i=n;i;i--)
	{
        while(i>=0&&!a[i]) i--;
        if(i<0) break;
        if(i>=p) ans[p--]=1;
        else
		{
            for(int j=0;j<p;j++){
                t=a[j]/2;
                a[j]-=2*t,a[j+1]+=t;
                ans[j]=a[j];
            }
            ans[p]=a[p];
            break;
        }
    }
    p=k-1;
    while(p>=0&&!ans[p]) p--;
    if(p>=0) for(int i=p;i>=0;i--) printf("%d",ans[i]);
    else printf("0");
    return 0;
}