九点共圆及其圆心证明

主要思路：固定 $P,L$，证明其它七个点均在以 $PL$ 为直径的圆上。

条件的来源会备注在括号内。背景可能影响观感，建议打开极简模式阅读。

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这是一个三角形 $\mathrm{△}ABC$，设 $BC,AC,AB$ 边上垂足分别为 $D,E,F$，其边上中点分别为 $L,M,N$，设垂心为 $H$，外心为 $O$，$AH,BH,CH$ 中点分别为 $P,Q,R$，如图。

$\because PM//CH,LM//AB,CH\perp AB$ （定义及中位线）

$\therefore PM\perp LM$

又 $\because PD\perp LD$ （定义）

$\therefore P,D,L,M$ 四点共圆

$\because PR//AC,LR//BH,BH\perp AC$ （定义及中位线）

$\therefore PR\perp LR$

$\therefore P,D,L,M,R$ 五点共圆

$\because PE=PA,EL=LC$ （斜边中线定理）

$\therefore \mathrm{\angle }PEA=\mathrm{\angle }PAE,\mathrm{\angle }LEC=\mathrm{\angle }LCE$

$\because \mathrm{\angle }PAE+\mathrm{\angle }LCE={90}^{\circ }$ （直角三角形）

$\therefore \mathrm{\angle }PEA+\mathrm{\angle }LEC={90}^{\circ }$，即 $\mathrm{\angle }PEL={90}^{\circ }$

$\therefore PE\perp LE$

$\therefore P,D,L,M,R,E$ 六点共圆

同理可证得 $N,F,D$ 亦在以 $PL$ 为直径的圆上。

故 $D,E,F,L,M,N,P,Q,R$ 九点共圆，即为所求。

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设九点圆的圆心为 $S$。已知 $S$ 为 $PL$ 中点。

观察 $\mathrm{△}ABH$ 与 $\mathrm{△}LMO$。

$\because LM//AB,OM//HB,OL//HA$ （定义及中位线）

$\therefore \mathrm{△}ABH\backsim \mathrm{△}LMO$

$\because LM=\frac{AB}{2}$ （中位线性质）

$\therefore OL=\frac{HA}{2}=PH$

$\because OL//PH$

$\therefore \mathrm{\angle }PHS=\mathrm{\angle }LOS$

$\because \mathrm{\angle }PHS=\mathrm{\angle }LOS,\mathrm{\angle }PSH=\mathrm{\angle }LSO,PH=LO$

$\therefore \mathrm{△}PHS$ ≌ $\mathrm{△}LOS$

$\therefore S$ 为 $HO$ 中点，即为所求。

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特别鸣谢：9G 有关 $\mathrm{△}ABH\backsim \mathrm{△}ORM$ 的证明，HDK 残缺的 LaTeX 公式。

完结撒花~