九点共圆及其圆心证明

主要思路：固定 \(P,L\)，证明其它七个点均在以 \(PL\) 为直径的圆上。

条件的来源会备注在括号内。背景可能影响观感，建议打开极简模式阅读。

---

这是一个三角形 \(\triangle ABC\)，设 \(BC,AC,AB\) 边上垂足分别为 \(D,E,F\)，其边上中点分别为 \(L,M,N\)，设垂心为 \(H\)，外心为 \(O\)，\(AH,BH,CH\) 中点分别为 \(P,Q,R\)，如图。

\(\because PM//CH,LM//AB,CH\perp AB\) （定义及中位线）

\(\therefore PM\perp LM\)

又 \(\because PD\perp LD\) （定义）

\(\therefore P,D,L,M\) 四点共圆

\(\because PR//AC,LR//BH,BH\perp AC\) （定义及中位线）

\(\therefore PR\perp LR\)

\(\therefore P,D,L,M,R\) 五点共圆

\(\because PE=PA,EL=LC\) （斜边中线定理）

\(\therefore \angle PEA=\angle PAE,\angle LEC=\angle LCE\)

\(\because \angle PAE+\angle LCE=90^\circ\) （直角三角形）

\(\therefore \angle PEA+\angle LEC=90^\circ\)，即 \(\angle PEL=90^\circ\)

\(\therefore PE\perp LE\)

\(\therefore P,D,L,M,R,E\) 六点共圆

同理可证得 \(N,F,D\) 亦在以 \(PL\) 为直径的圆上。

故 \(D,E,F,L,M,N,P,Q,R\) 九点共圆，即为所求。

---

设九点圆的圆心为 \(S\)。已知 \(S\) 为 \(PL\) 中点。

观察 \(\triangle ABH\) 与 \(\triangle LMO\)。

\(\because LM// AB,OM//HB,OL//HA\) （定义及中位线）

\(\therefore \triangle ABH\backsim \triangle LMO\)

\(\because LM=\frac{AB}{2}\) （中位线性质）

\(\therefore OL=\frac{HA}{2}=PH\)

\(\because OL//PH\)

\(\therefore \angle PHS=\angle LOS\)

\(\because \angle PHS=\angle LOS,\angle PSH=\angle LSO,PH=LO\)

\(\therefore \triangle PHS\) ≌ \(\triangle LOS\)

\(\therefore S\) 为 \(HO\) 中点，即为所求。

---

特别鸣谢：9G 有关 \(\triangle ABH\backsim \triangle ORM\) 的证明，HDK 残缺的 LaTeX 公式。

完结撒花~