闲话 10.16

合集 - 闲话(15)

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今日第一蚌

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Steps to One

已同步更新于 莫比乌斯反演。

CF1139D 用到一点莫反也是莫反。

题目大意：每次从 $[1,n]$ 随机取一个数加入数组 $a_i$，当 $gc{d}_{i=1}^{len}{a}_i=1$ 时停止，问 $len$ 的期望。

直接用期望式子推：

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{(len=i)}\times i\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^i{P}_{(len=i)}\\ & =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i\ge j}{P}_{(len=i)}\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{(len\ge i)}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{(len>i)}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_{(gc{d}_{j=1}^i{a}_j>1)}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}1-P_{(gc{d}_{j=1}^i{a}_j=1)}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{\sum _{a_1=1}^n\sum _{a_2=1}^n\cdots \sum _{a_i=1}^n[gc{d}_{j=1}^i{a}_j=1]}{n^i}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{\sum _{a_1=1}^n\sum _{a_2=1}^n\cdots \sum _{a_i=1}^n\sum _{d|gc{d}_{j=1}^i{a}_j}\mu (d)}{n^i}\\ & =1+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{\sum _{d=1}^n\mu (d)(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor {)}^i}{n^i}\\ & =1-\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{d=2}^n\mu (d)(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor {)}^i}{n^i}\\ & =1-\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^i}\sum _{d=2}^n\mu (d)(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor {)}^i\\ & =1-\sum _{d=2}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{n}\right)}^i\end{array}$$

发现最后是个无穷等比数列，可以如下求值：

$$S=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^i$$

$$Sx=\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}{x}^i$$

$$S-Sx=x$$

$$S=\frac{x}{1-x}$$

然后代入即可：

$$\begin{array}{rl}ans& =1-\sum _{d=2}^n\mu (d)\frac{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{n-\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\end{array}$$

这道题范围很小，只有 ${10}^5$，$\mathcal{O}\mathcal{(}\mathcal{n}\mathcal{)}$ 跑就行了，整除分块优化能到 $\mathcal{O}\mathcal{(}\sqrt{\mathcal{n}}\mathcal{)}$，但筛还是 $\mathcal{O}\mathcal{(}\mathcal{n}\mathcal{)}$ 的。

代码见 莫反博客。

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Updating。